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（1） 表征x(t)的全部信息？或者说 用 （2）任意 x(t) 都可表示为 的线性组合（加权和） 这两个问题的答案是统一的，它们建立在数学上所谓“框架理论”的基础上。 5.8 小波框架 框架概念 ——线性变换 如果要能用 表征 ，则此变换应至少能满足以下条件： （1）变换的唯一性： ，则 （2）正变换的连续性： ，则 （3）反变换的连续性： 则 从以上三个条件可归纳为下面的条件： 满足上式得离散函数序列 在数学上称为“框架”。 定义：基本小波 满足 便称 构成了一个小波框架，上式称为小波框架条件，其频域表示为 小波框架的性质 （1）满足小波框架条件的 ，其基本小波 必定满足可容许条件，但并不是所有满足可容许条件的小波，在任意离散的 和 下都满足小波框架条件。 （2）框架与基的含义很相似，但要求比基更宽一些，它并不要求各 线性无关。 5.9 DWT的逆变换——x(t)的重建 为一小波框架 （1）当A=B=1时候， 是一组正交基，重建公式： （2）当A=B时 以上两种情况称为“紧框架“。 （3）当 称为 的“对偶”。它也是由基本函数 伸缩和平移得到，即 并且有： 1. 也构成一个框架，其上、下界与 的上下界呈倒数关系 2. 当A与B比较接近时，作为一阶近似，可取 则 5.10 重建核方程 （1）重建问题主要是求A,B和对偶 ，如果A与B接近，则可用 代替 。A、B的值由基本小波 和离散的值 决定。 （2）一般情况下， 并不正交，甚至可能线性相关。只有当A=B=1时， 才是一组正交基。 （3）满足小波框架条件的 ，其基本小波 必定满足可容许性条件，但并不是所有满足可容许性条件的小波，在任意离散的 下都满足小波框架条件。 （4）离散小波变换仍然具有冗余度（除A=B=1时外） 当A=B时（紧框架） 其中 则 将第一式代入上式得 其中 与连续时一样， 给出任意一点 处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称上式为重建方程，称 为重建核，它是由小波框架本身决定的，此式也说明并不是任意函数 都可以作为离散栅格上的小波变换，而必须满足重建核方程。 只有当 时，信息才是没有冗余的，此时 互相正交。 记 ，法国数学家Danbechies经过繁长的数学推导得到A,B与 以及 间的关系。下表为Marr小波框架上界B，下界A同 之间的关系 下图为不同a, τ值下的 当a值小时，时轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率进行分析，即用高频小波做细致观察。当a较大是，时轴上考察范围大，而在频域上相当于用低频小波做概貌观察。从分辨率上来看，见下表 a值 分析频率 频率分辨率 时间分辨率 大 低 高 低 小 高 低 高 5.2 连续小波变变换（CWT） 将任意 空间中的函数x(t)在小波基下进行展开，即 称为x(t)的连续小波变换。其中a0为尺度系数， τ为平移系数。 若定义内积x,y x(t),y(t)= 则小波变换可表示为 内积往往被不严格地解释成卷积 内积 卷积 区别仅在 改成 即 首尾对调，如果 是关于t=0对称的函数，则无区别；若非对称，在计算方法上也没有本质区别，也有用卷积来定义小波变换的。 因此小波变换在物理意义上可解释为小波基函数 为带通滤波器 进行小波变换等效于进行滤波，其结果 为滤波器的输出。 频域表示： 证明： 可见： 5.3 与STFT的比较 小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换。由于小波基不同与傅里叶基，因此小波变换与傅里叶变换有许多不同之处。小波基具有尺度a，平移τ两个参数，因此，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间——尺度相平面上。并且，由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。 若令 则连续小波变换可以看成一个STFT。但STFT的时频窗不随ω， τ的改变而改变，窗函数确定后，窗口的宽度也就确定了。 取 为高斯函数，当τ = 0时， 对固定频 由于