第四章习题重庆大学信号与信统杨浩版答案.doc
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第四章习题
以下各周期序列的周期为N，根据离散傅里叶级数的定义，证明：
证明：
若为实周期序列，证明其离散傅里叶级数的系数具有以下对称关系：
证明：
即
是一个周期为N的周期序列，已知其离散傅里叶级数的系数为。也可以看成周期为2N的周期序列，设其离散傅里叶级数的系数为，试用确定。
解：
已知是一个周期为N的周期序列，其离散傅里叶级数的系数为，是一个周期为M的周期序列，其离散傅里叶级数的系数为。设
显然
证明也是周期序列，周期为MN。
设是的离散傅里叶级数的系数，试用和确定。
解：
设是的离散傅里叶级数的系数，试用和确定。
将这个和式看成M个N点序列的和式
因为
即
同理可得
将这个和式看成N个M点序列的和式
因为
即
已知是一个周期为N的周期序列，其离散傅里叶级数的系数为。试用确定以下各序列离散傅里叶级数的系数。
，为常数。
。
，N为偶数。
解:
，为常数。
。
，N为偶数。
是个N点序列，试证明：
证明：
因为 是N点序列的周期延拓序列，即是周期为N的序列。
所以 也是周期为N的序列，则有
为N点序列的N点离散傅里叶变换，
证明如果满足关系式
则
证明当N为偶数时，如果
则
证明：
因为
证明
如果满足关系式
则
当时，有
则
因为
当N为偶数时，如果
则
当时，有
因为N为偶数，N-1则为奇数，而
则
011
0
1
1
n
题图4-1
2
2
3
0
1
2
3
n
1
2
m
m
0
-1
-2
-3
1
2
m
n
n-1
n-2
n-3
即
已知是个4点序列，也是个4点序列，如题图4-1所示，
求与的线性卷积。
求与的4点圆周卷积。
用补零的方式将和延长成7点序列，再做与的7点圆周卷积。
解：
求与的线性卷积。
第一步画出与的草图；
第二步画出的草图；
第三步画出的草图；
分析在给定n的条件下，与在区间上的非零值交点。
当时，与没有非零值交点，所以
当，且时，即，与在区间上有非零值交点，所以
当，且时，即，与在区间上有非零值交点，所以
当时，与没有非零值交点，所以
0
0
1
1
2
2
3
0
1
2
3
1
2
m
m
0
-1
-2
-3
1
2
m
0
1
2
3
1
m
2
1
-1
-2
-3
-4
1
2
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
n=0
n=1
n=2
n=3
求与的4点圆周卷积。
第一步画出与的草图；
第二步画出的草图；
第三步画出的草图；
第四步画出的草图；
计算圆周卷积和式：
用补零的方式将和延长成7点序列，再做与的7点圆周卷积。
011
0
1
1
2
2
3
0
1
2
3
1
m
m
4
5
6
4
5
6
第一步与补零延长为7点序列；
第二步画出的草图；
第三步画出的草图；
第四步画出的草图；
01
0
1
2
3
1
m
4
5
6
-7
-6
-5
-4
1
-3
-2
-1
2
2
60
6
0
1
2
3
m
4
5
6
n=0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
5
6
4
0
1
2
3
5
6
4
0
1
2
3
5
6
4
0
1
2
3
5
4
6
0
1
2
3
5
4
6
0
1
2
3
5
4
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
为N点序列的N点离散傅里叶变换。也是N点序列，如果再将做N点离散傅里叶变换得到，试讨论与的关系。
解：因为
既有
所以
因为
则
求以下N点序列的N点离散傅里叶变换
解:
利用FFT对连续时间信号进行频谱分析，仅是一个近似的估计。现用一个FFT处理器来估算实信号的频谱，要求指标：（a）频率分辨率为Hz；（b）信号的最高频率kHz；（c）FFT的点数N必须是2的整数次幂。试确定：最小采样频率和最小采样数据点数N。
解:
根据采样定理，最小采样频率为：
N点离散傅里叶变换的频率（数字频率）分辨率为
根据模拟频率与数字频率间的关系（），可得模拟频率的分辨率
若要求分辨率，有
即
取2的整次幂，
计算下列各信号的傅里叶变换
解：
因为
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