高等数学（经济类）第5版课件：曲线的凹凸、拐点、渐近线.pptx

曲线的凹凸、拐点、渐近线

一、曲线的凹凸与拐点

凹

凸

拐点

设函数

在区间I上连续,

(1)若恒有

则称

图形是凹的;

(2)若恒有

则称

连续曲线上凹与凸分界点称为拐点。

图形是凸的.

一、曲线的凹凸与拐点

1.定义

2.凹凸的判定

定理设

在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，

（1）若对任意x∈(a,b)都有

则f(x)在[a,b]上凹；

（2）若对任意x∈(a,b)都有

则f(x)在[a,b]上凸；

注意：此定理与单调性的判别定理是完全类似的。

注:

求y=f(x)凹凸区间的步骤

1.写出f(x)的定义域；

2.求,并求的点和

3.列表讨论

不存在的点

例1.求曲线

的凹凸区间及拐点.

解:

定义域为

令

得

故该曲线在

及

上凹,

拐点

为(0,1)及

。

凹

凹

凸

凸,

例2.求

的凹凸区间及拐点.

解:

定义域为

令

得

在

，

上凹,

拐点

为(0,1)及

。

凸,

不存在的点为

例3.求

的凹凸性及拐点.

得

解:

令

0

定义域为

拐点为

(0,)

例4.用凹凸性证明：

解：令

，

在

是凹的，

所以，

时，

即：

无渐近线.

点M与某一直线L的距离趋于0,

二、曲线的渐近线

定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点

时,

则称直线L为

曲线C的渐近线.

例如,双曲线

有渐近线

但抛物线

或为“纵坐标差”

1.水平与铅直渐近线

若

则曲线

有水平渐近线

若

则曲线

有垂直渐近线

例1.求曲线

的渐近线.

解:

为水平渐近线;

为垂直渐近线.

2.斜渐近线

斜渐近线

若

则曲线

有

例2.求曲线

的渐近线.

解:

又因

为曲线的斜渐近线.