例4求曲线的水平渐近线.ppt

二、曲线的曲率 在工程技术中,有时需要考虑曲线的弯曲程度.如在设计铁路或公路的弯道时,必须考虑弯道处的弯曲程度. 在数学上,用曲率来表示曲线的弯曲程度 1.曲率的计算公式 ： 设函数具有二阶导数，则曲线在任意点的曲率计算公式为： 例：已知圆的半径为R，求圆上任一点处的曲率 . 解 圆的方程为: 2．曲率圆和曲率半径 定义3.5 如果一个圆满足下列三个条件： (1)在M点与曲线有公切线； (2)与曲线在M点附近有相同的凹性； (3)与曲线在M点处有相同的曲率． 则这个圆叫做曲线在M点的曲率圆． 曲率圆的中心叫做曲线在M点的曲率中心； 曲率圆的半径叫曲线在M点的曲率半径 (如下图所示). 例3.18 设工件内表面的截线为抛物线现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮比较合适？ 由于. 所以，工件内表面截线上任意一点的曲率半径为 * 在研究函数图象的变化状况时，仅了解单调性还不能完全反映它的变化规律．函数的图象始终是上升（或下降）的，但却可以有不同的弯曲状况．因此，研究函数图象时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的. §3.5 利用导数研究曲线性质 一、函数的凹凸性与拐点 下面我们在观察一下曲线向上弯曲与向下弯曲有何不同? 凹 易见,曲线上任何一点的切线均在该曲线的下方 凸 易见,曲线上任何一点的切线均在该曲线的上方 凹 凸 易见随着 的不断增大,切线与 轴正方向的夹角 也在不断增大, 即 随着 的增大而增大,亦即 为增函数 易见随着 的不断增大,切线与 轴正方向的夹角 在不断变小, 即 随着 的增大而减小,亦即 为减函数 曲线向上弯曲的弧段位于这弧段上任意一点的切线的上方；而向下弯曲的弧段则位于该弧段 上任意一点的切线的下方． 我们给出如下定义： 定义3.5 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内是凹的(或上凹的)；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在此区间内是凸的(或下凹的)． 那么如何判断曲线的凹凸性呢? 可见曲线凹时, 单调递增;曲线凸时, 单调递减;由此可见有如下定理 定理3.10 设函数 在区间 内存在二阶导数， 若 （1）在 内，恒有 ，则曲线 在 内是凹的; （2）在 内，恒有 ，则曲线 在 内是凸的. 定义3.6 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点． 拐点既然是曲线凹与凸的分界点，那么在拐点的左、右邻近 必然异号，因而在拐点横坐标 处有 或 不存在. 与驻点的情形类似，使 的点 不一定就是拐点的横坐标 . 如 在 处，虽然二阶导数为０，但不是拐点的横坐标(见图)； 同样, 不存在的点 也不一定是拐点的横坐标,如 在 处，虽然二阶导数不存在，但 也不是拐点的横坐标(见图)． 或 不存在的点 究竟是否为拐点的横坐标，还要根据在该点的左右邻近 是否异号来确定. 例１ 求曲线 的凹向区间与拐点 . 解 函数的定义域为 （1）确定函数 的定义域； （2）先求出函数 的二阶导数，找出在定义域内使得 的点和 不存在的点； （3）对上述求出的每一个点 ，检查其左、右邻近的 的符号，如果 异号,则 点是曲线 的拐点； 如果 同号,则 点不是曲线 的拐点． 令 ，解得 ． 把定义域分成三个区间，列表如下： 求曲线 拐点的一般步骤如下： 例２ 求曲线 的拐点． 解　函数的定义域为 ， 显然 时, 不存在 所以该曲线的拐点为 可见，