高等数学函数的凹凸性与拐点-第节课.ppt

中值定理与导数的应用 曲线的凹凸性 一、曲线的凹凸性 内容小结 2. 曲线 高等数学 一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点及其求法 问题: 如何研究曲线的弯曲方向? 凹（上凹） 凸（下凹） 定义 如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）； 如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）. x1 x2 x y o ?1 ?2 凹（上凹） 凸（下凹） x y o ?1 ?2 x2 x1 定理2.12 例1 解 例2 例2 解 注意到, 例3 例3 解 定义： 连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。 说明： 拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数 f ??(x) 由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数 f (x) 一定等于零或者不存在. 的凹凸性. 例4. 判断函数 解: 故曲线 在 上是凹的. 说明: 若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变. . 判定曲线 y=f(x) 的凹凸及拐点的步骤： 1、确定函数的定义域； 2、求出函数的二阶导函数 f ??(x)；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点； 3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。 例5. 解 拐点 凸 凹 凹 非拐点 不存在 例6 例6 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 思考题 1. * *