模型05 圆中重要模型（七大易错分析 举一反三 易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（全国通用）（原卷版）.docx
PAGE
PAGE19
模型05圆中重要模型
易错模型1：圆幂定理模型
模型解读
1）相交弦定理，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
2）割线定理（SecantTheorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。结论：
4）弦切角定理：\t/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank弦切角的\t/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank度数等于它所夹的弧所对的\t/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角。
条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。
5）托勒密定理（Ptolemystheorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦；结论：
易错提醒：圆幂定理包括相交弦定理、割线定理和切割线定理，学生在应用时容易混淆这些定理的条件和结论，导致应用错误。
例1．（2023·河南信阳·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
??
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．
变式1．（2024春·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．
求证：．
证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______．
又∵，∴______，∴______．即．
研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接、，
变式2．（2024·河南·校考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，．求证：．
（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
变式3．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下：
如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：．
证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，．
∵CF是的直径，（依据：______）．，．
又（依据：______），．…………
任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整；
(3)如图2，已知AB是的直径，是的切线，A为切点，割线CF与AB交于点E，且满足，，求AB的长．
变式4．（2024·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面