最短路径--课件.pptx

新 课 引 入　　 我们把研究关于“两点之间，线段最短” “垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.第十三章 轴对称13.4课题学习最短路径问题　问题1　相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：　如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ BAl　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．　 你能将这个问题抽象为数学问题吗？BACC转化为数学问题 分析：BAll当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？BBAC联想： 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？l两点之间，线段最短.BBAACCll分析：（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？B′ BAC如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ .当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？l 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.BB′ACC′证明：如图.在直线 l 上任取另一点C′ ，连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ．∵直线 l 是点B、B′的对称轴， 点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′ AC′+B′C′， ∴AC+BC AC′+B′C′，即AC+BC最小．l方法总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．抽象为数学问题用旧知解决新知BBACACC解决实际问题联想旧知lAllBB′问题1 归纳BAl问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？AMBN 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？ab 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.AMABBNAClab分析： 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.AMABN解：ab 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.AMM′AN′BN证明：另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.ab由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′ N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.总结归纳： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。抽象为数学问题用旧知解决新知CA解决实际问题联想旧知lB问题2 归纳BCAClAlBB′小结归纳转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.尝试应用：1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）DQQPPPPQQMMMMllllABCD2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.1000DC河AB4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。PM’归纳总结本节课你有什么收获？①学习了利用轴对称解决最短路径问题②感悟和体会转化的思想CQ河岸山PAB大桥补偿提高　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．CQ河岸山PAB大桥　思路分析：　由于两点之间线段最短，所以首先