空间几何体的表面积与体积.ppt

关于空间几何体的表面积与体积第1页，共21页，星期日，2025年，2月5日名称概念展开图举例及说明侧面积公式直棱柱与正棱柱侧棱和底面垂直棱柱叫做底面是正多边形的叫做正棱柱棱柱的侧面展开图是矩形S直棱柱侧=正棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形S正棱锥侧=正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰S正棱台侧=直棱柱直棱柱ch正棱锥正棱台第2页，共21页，星期日，2025年，2月5日2.旋转体的表面积公式(1)圆柱的表面积S=(其中r为底面半径,l为母线长).(2)圆锥的表面积S=(其中r为底面半径,l为母线长).(3)圆台的表面积公式S=(其中r′,r为上、下底面半径,l为母线长).(4)球的表面积公式S=(其中R为球半径).3.几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V=(其中S为底面面积,h为高).(2)锥体的体积公式V=(其中S为底面面积,h为高).(3)台体的体积公式V=(其中S′,S为上、下底面面积,h为高).(4)球的体积公式V=(其中R为球半径).2πr(r+l)πr(r+l)π[(r+r′)l+(r2+r′2)]4πR2Sh第3页，共21页，星期日，2025年，2月5日典例分析【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.题型一几何体的表面积问题分析要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件，列出方程，求解所需的几何元素.解如图所示,正三棱台ABC-A1B1C1中,O、O1分别为两底面中心,D、D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.设A1B1=20,AB=30,则可得OD=,O1D1=.第4页，共21页，星期日，2025年，2月5日由S侧=S上+S下,得(20+30)×3×DD1=(202+302),∴DD1=.在直角梯形O1ODD1中,O1O=,∴棱台的高为cm.学后反思(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.第5页，共21页，星期日，2025年，2月5日举一反三1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和.解析：如图,延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,则∠ASO=30°.在Rt△SA′O′中,,∴SA′=2r.在Rt△SAO中,,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为第6页，共21页，星期日，2025年，2月5日【例2】直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为Q1、Q2,求它的侧面积.分析要求此棱柱的侧面积,只要求出它的底面边长与高即可.解设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则S侧=4al.因过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形,从而Q1=AC·l,Q2=BD·l,则又∵AC⊥BD,∴,∴即4a2l2=Q12+Q22,即2al=,∴S侧=4al=.第7页，共21页，星期日，2025年，2月5日学后反思(1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征.（2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少运算量，简化运算过程.举一反三2.三棱柱的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α,上底面的顶点在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面△ABC外接圆半径为R,侧棱和AB成2α角,求三棱柱的侧面积.第8页，共21页，星期日，202