数列综合(教师版)数列综合(教师版).doc

数 列 综 合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1、 (2008福建文) 已知是整数组成的数列，，且点在函数的图像上：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证： .解：（1）由已知得：， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即 （2）由（1）知 所以： 2、(2008福建理) 已知函数. 　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； 　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: 注意到,从而 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. 3、（2010湖南文数）（本小题满分13分） 给出下面的数表序列： 其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 4、(2008湖南理)数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 13．解: (Ⅰ)因为所以 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 5、(2008江西理) 等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列． （1）求与； 2）证明：＋＋……＋＜． }公差为d，由题意易知d≥0，且d∈N*， 则{}通项=3 +（n－1）d，前n项和。 再设{}公比为q，则{}通项 由可得 ① 又{}为公比为64的等比数列， ∴，∴ ② 联立①、②及d≥0，且d∈N*可解得q = 8，d = 2 ∴{}通项= 2n + 1 ，n∈N* {}通项，n∈N* （2）由（1）知，n∈N* ∴，n∈N* ∴ 6．（2012年高考（湖南理））已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 (1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. 【解析】 解(1)对任意,三个数是等差数列,所以 即亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有由知,均大于0,于是 即==,所以三个数组成公比为的等比数列.(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则, 于是得即 由有即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证. ★★★高考要考什么 本主要涉及等差数列的定义、通项公式、前n项和及其性质 高考对本考查比较全面每年都不遗漏 间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几