刚体的平面平行运动.ppt

本体极迹和空间极迹 例子 * * * * §3.7 刚体的平面平行运动 一、平面平行运动的运动学 1. 运动特征 1) 其上任一点始终在平行于某一固定平面内运动，刚体上 垂直该固定平面的直线上各点运动情况相同(轨道、速度和加速度)。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表刚体。 2） 刚体在 内，由 可由两步完成 随A点的纯平动， 基点位移均为 A B A’ B’ θ Ⅱ Ⅱ’ Ⅰ 再绕A’作纯平动Ⅱ’→Ⅱ， 刚体平面平行运动=任意点的平动+绕该点的转动 2. P点的速度 建立固定系0xyz和固连系0xyz.取A为基点: x z y O rO A r r‘ x’ z’ y’ θ ω P点在固定系和固连系中的坐标为（x,y）和（x’,y’）,其速度在固定系中的投影： 3. P点的加速度 说明： ：截面上任意两点的速度在两点连线上的投影相等 A B =0 4.速度瞬心 1) 解析法：在固定系中 在刚体系中： c P 平面平行运动的刚体任意时刻薄片上总有一点速度为零， 该点称速度瞬心 A P c c c 5. 空间极迹和本体极迹 当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，c在固定平面上的轨 迹叫做空间极迹，在薄片上的轨迹叫做本体极迹。一般情 况下，本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动。 例：车轮滚动 c S B ω 注意： 瞬心的加速度不为零 1）椭圆规尺AB两端点的速度方向已知，故过A及B作两直线分别与vA及vB垂直，此两直线相交于c，故c为转动瞬心。 空间极迹 本体极迹 例1. 试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度,并求本体极逊和空间极迹的方程式. x y O B A Q C q 三、平面平行运动动力学 1. ? 运动微分方程 以运动学观点，基点可任意选取，动力学选质心为基点较宜。取过质心的薄片代表刚体 （0-xyz为固定系， C-x’y’z为固连系） (1)-(3)为刚体平面平行运动微分方程，三个方程可以确定 y x O rc c r r’ y’ j x’ i θ z 2. 动能、机械能守恒 3. 应用 方法一、机械能守恒定律 例 2 滚而不滑条件： 解得： 方法二、解微分方程 o ? f x y N mg o α ? o ? f x y N mg o α ? 习题 3.22 (P177) 解： V v1 v2 N mg A 例3 以杆打击球的底部，使球获得v0,ω0,此时连滚带滑。研究球以后如何运动. ω N mg v x y f O 例：半径为a的圆柱放在半径为b的大圆筒内，把小柱偏离平衡位置作纯滚动。证明质心的运动如同等值单摆运动，等值单摆长为： φ θ A A’ mg f C R τ Q 定点转动自由度: 两个独立变量来描述角速度矢量的取向, 一个变量来描述整个刚体绕转动轴的运动. 通常用三个欧勒角来描述它的运动. 进动 自转 章动 §3.8 刚体绕固定点的转动 一、运动学 运动特征：有一个点始终不动 某一瞬时, 刚体的角速度是?, 取向沿着该时刻的转动瞬轴OM, 刚体内任一点P的线速度： 和P 的线加速度为 转动加速度 向轴加速度 O r R P M ? 说明： （2）、瞬轴在固定系o-ξηζ上描绘的空间曲面称为空间极面； 在固连系o-xyz上 描绘的空间曲面称为本体极面 （1）、瞬轴上的所有点的速度为零 空间极面: 本体极面: η ξ ζ z 本体极面 空间极面 o 转动瞬轴 （3）、 不是切向加速度， 一般情况下不共线。 y z y0 x0 z y’’ x’’ ? q x ? i j k c p 刚体一般运动：基点的平动+绕基点的定点转动。 刚体内任一点P的速度及加速度为 o ξ η ζ x y z p A 注意： 例2 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时, 当螺旋浆尖端B与中心A的联线和铅垂线成?角时, 求B点的速度及加速度. 已知螺旋桨的长度AB=l, 螺旋桨自身旋转的角速度为?1. 解: 又 故 刚体绕定点O以角速度? 转动时, 其运动方程： 2 欧勒动力学方程 在固定系上： 可能与ω有关，这样的计算会相当复杂！ 对于固连系， 不会随时间变化，若选用定点O上的惯量主轴为动坐标轴（o-xyz),则 y z η ξ ζ y’’ x’’ ? q x ? 在固连系o-xyz的投影式为： 计算第一项的导数： ——欧勒动力学方程 欧拉在1776年给出来的 说明： (1)、采用动