[2018年最新整理]2013高考数学一轮复习+第五篇平面向量第3讲+平面向量的数量积教案+理.doc

第3讲　平面向量的数量积 【2013年高考会这样考】 1．考查平面向量数量积的运算． 2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系． 基础梳理 碧欧木蜡油/傲露天然涂料---尽在 天然环保涂料专卖店— 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab. 2．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)a⊥b?a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量数量积的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝； (4)ab?a·b＝0x1x2＋y1y2＝0. 为您分享 此文档，更多高质量素材尽在数学1618 7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)． 一个条件 两个向量垂直的充要条件：ab?x1x2＋y1y2＝0. 两个探究 (1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？ 三个防范 (1)若a，b，c是实数，则ab＝acb＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D. 解析　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，θ＝. 答案　C 2．若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是(　　)． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c) 答案　D 3．(2011·广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c·(a＋2b)＝(　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由ab及ac，得bc，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案　D 4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a(a－b)，则实数x等于(　　)． A．9 B．4 C．0 D．－4 解析　a－b＝(1－x,4)． 由a(a－b)，得1－x＋8＝0. x＝9. 答案　A 5．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 解析　由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2， 得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉[0，π]所以〈a，b〉＝. 答案　　　 考向一　求两平面向量的数量积 【例1】(2011·合肥模拟)在ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________. [审题视点] 由M是BC的中点，得＋＝2. 解析　如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋) ＝·2＝－4||2＝－||2＝－，故填－. 答案　－ 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． 【训练1】 如图， 在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________. 解析　＝＋，故·＝·(＋)＝·＋·.而＝－，.所