代数初步的认知过程.doc

代数初步的认知过程（摘自《小学数学研究》，高等教育出版社，第6章） 第二节 小学数学中的方程 《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）正式将方程列入小学数学课程内容。其中规定，在4-6年级（即第二学段），“数与代数”学习领域中的第三部分的标题是“式与方程”，具体内容是： 1． 在具体情境中会用文字代表数； 2． 结合简单的实际情境， 了解等量关系； 3． 了解方程的作用， 能用方程表示简单情境中的等量关系； 4． 能解简单的方程（ 如 3x +2 =5, 2x - x = 3）。 这样，方程已经成为小学数学的正式内容。值得注意的是，小学数学中的方程思想不能要求过高，数学课程标准中反复强调的是“简单的”、形如ax±b=c、ax±bx=c的方程。 一、什么是方程 几乎所有的教材都这样定义：“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足： 首先，它不够明确。例如，熟知的路程S，速度v，时间t 之间的关系 S=vt 其中，S，v，t都是未知数，这是我们要研究的方程吗？它可以看作一元三次方程，也可以看作vt平面上的二元函数。即使速度v是常数v，s=vt究竟是函数s(t)呢？还是二元一次方程呢？总之，这个定义不能很好地区分方程和函数。 其次，它不够深刻。一个对象的定义，最好能够揭示这一对象的本质，帮助人们进行理解。但是，这个简单的定义，没有回答方程的意义，它的深刻思想。 因此，我们替代地有以下的方程定义。 “方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。” 这样定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻修未知数，接着告诉我们，方程乃是一种关系，起特征是“等式”关系，这份等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助者层关系，找到了我们需要的未知数。 实际上，方程思想，来源于人们的生活现实。为了结识一位未知的先生，我们通过熟人作为中介进行介绍，借助这层关系得以认识这位不熟悉的先生。在思想意境上是相通的。 陈重穆教授曾经指出[1]：“含有未知数的等式叫方程“这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质，它的价值和意义。他说我们并不是要研究一切含未知数的等式，只对那些有数学价值的方程，能够帮助我们寻求未知数的方程，才去面对。例如，0·x=0 , x–x =0,这样的等式，我们是不研究的，因为他们不能帮助我们寻求未知的信息。 二、方程是一种应用广泛的数学模型 《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）指出，“方程是刻画现实世界的有效模型”。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象的模型。例如，行程问题，工程问题，折扣问题，百分比问题等许多不同领域中的数量关系，最后都可以归结为关于x 的一元一方程ax =b（一般地有 ax±b =cx±d）。这样的方程，是这类问题的共同数学模型。 可以说，算术是一种算法，依照给定的程序，可以的出要求的未知数；方程是一种模型，反映出所研究问题中存在的某种相等关系。比如，已知物体匀速运动，速度是50千米/小时。位移100千米需要多少时间？算术方法只是给出 100÷50的算式。方程则要给出模型50 x = 100，这是一个等式关系——一元一次方程。 有人认为，小学数学早就有方程了，例如，用□表示未知数，并要求回答： 5 - □ = 3， □ = ？ 10 +□ = 15， □ = ？ 3 ×□ = 9， □ = ？ 12 ÷□ = 4， □ = ？ 这是四则运算的逆向思考，对求解方程非常有用。但是，这样的训练，还不是建立数学模型。这里的等式关系是已经给出的，并非为了寻求未知数由学生自己而建立起来的。因此，这还不是学习方程思想的主要部分。 三、小学数学中的“简易方程” “方程”是一个深刻的思想，具有无穷无尽的发展空间：代数方程，微分方程，不定方程等不一而足。但是，小学数学只处理简易方程，即只限于形如ax±b=c、ax±bx=c的方程。 这类方程的求解，主要通过方程两边同时加、减、乘一个数、以及除一个非0的数，等式不变，以最后出现x = m，作为问题的解而结束。 为了避免出现负数，所有的数据应当精心安排。 事实上，小学生学习方程的困难，主要在于： 1．不能很快理解已知数和未知数的平等关系。表现为，设了未知数x，但总想列出总式x＝……（右端不含未知数）。这是披着代数外衣的“算术解法”。 2．不能很快理解用字母表示已知数，取得问题的公式解。 3．一个常见的书写错误是不能区分恒等变换和同解变换。例如，解x＋3＝6，学生会写成：x＋3＝6＝6－3＝3；2x＋3x＝10＝5x＝10。 这是把算术中的等号用法搬到代数里来，把“＝”看成一个指示你去做运算的记号（6－3＋1＝