2016年高考数学总复习 第六章 第6讲 不等式选讲课件 理要点.ppt

* 第6讲 不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|； (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a. 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何 意义，并会证明． 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式． 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法 证明一些简单问题． 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： (1＋x)n1＋nx (x－1，x≠0，n 为大于 1 的正整数)，了 解当 n 为大于 1 的实数时伯努利不等式也成立． 7．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不 等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、 反证法、缩放法． 1．常用的证明不等式的方法 (1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与 几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式． (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都 已具备，那么就可以断定原不等式成立． (4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 A≤B，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定 AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反 证法． (5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间 变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法． 2．绝对值不等式 (1)含绝对值不等式的解法： 设 a0，|f(x)|a?－af(x)a；|f(x)|a?f(x)－a 或 f(x)a. (2)理解绝对值的几何意义： |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. D 1．用反证法证明时：其中的结论“ab”，应假设为( ) A．ab B．ab C．a＝b D．a≤b 2．若关于 x 的不等式|x－a|1 的解集为(1,3)，则实数 a 的 值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3．不等式|2x－3|1 的解集为_______________________． (－∞，1)∪(2，＋∞) A 4．(2014年广东韶关调研)不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集 是______________. [1，＋∞) 5．(2013年江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 的解 集为________． [0,4] 考点 1 比较法证明不等式 例1：(2013 年江苏)已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－ a2b. 证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b) ＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3) ＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)， 【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为： 　　①作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全 平方式或常数的形式. 　　②判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论. 　　③得出结论. 又∵a≥b0，∴a＋b0，a－b≥0,2a＋b0， ∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∴2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0. ∴2a3－b3≥2ab2－a2b. 考点2 综合法证明不等式 例2：(2013年新课标Ⅱ)设 a，b，c 均为正实数，且 a＋b ＋c＝1，证明： 【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从 所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至 使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知 从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件 简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法,用分析法论证 “若 A，则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真，只需证 明命题B1 为真，从而又只需证明命题 B2 为真，从而又…只需 证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真.简写为：B?B1?B2…? Bn?A. 考点3 分析法证明不等式 【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化， 必需以普通方程为桥梁，即将极坐标方程转化为普通方程再转 化为参数方程，或将参数方程转化为普通方程再