振动力学第5章.ppt

* 太原科技大学应用科学学院 * * 太原科技大学应用科学学院 第5章 连续体的一维振动 1、杆的纵向振动 （1）均质等直杆的纵向自由振动方程 杆主振动的一般形式为： 相应于 的刚体运动 简单边界条件(端点自由或固定) (a) 两端固定 (b) 一端固定一端自由 (c) 两端自由 (a) 两端固定 —频率方程 固有频率 主振型 （2）主振型或振型函数U(x) 和固有频率? (b) 一端固定一端自由 —频率方程 固有频率 主振型 (c) 两端自由 固有频率 主振型 —频率方程 式 ?a? 即杆的主振型关于质量的正交性. 式 ?b? 和 ?c? 即杆的主振型关于刚度的正交性. 由 得 当 i = j 时 Mi、Ki——第 i 阶主质量、主刚度 主质量归一化 此时的主振型称为正则振型 （3）端点带有集中质量或弹簧的杆 杆端带有弹簧 边界条件 杆端带有集中质量 m 边界条件 2、梁的横向振动 （1）梁横向自由振动方程 设梁的主振动为 简单边界条件 (1) 固定端 (2) 简支端 (3) 自由端 确定两端简支等截面梁的固有频率和主振型。 解： 边界条件 将 代入上式,得 y （2）固有频率和主振型 固有频率 主振型 ―频率方程 求图示梁的固有频率和 主振型。 y 将 代入(a)式，得 解： 边界条件 O 将 代入(b)式，得 在求出ωi和Yi(x)后 令 上两式即梁的主振型关于刚度的正交性 上式即梁的主振型关于质量的正交性 （3）转动惯量、剪切变形和轴向力对固有频率的影响 （a）转动惯量、剪切变形对固有频率的影响 简支梁的固有频率 式中 为不计剪切变形和转动惯量时简支梁的固 有频率 第三、四项表达了转动惯量和剪切变形的单独影响,第五项表示剪切变形和转动惯量的共同影响。 剪切变形和转动惯量使系统的有效质量提高、有效刚度降低，从而引起固有频率降低。 只考虑转动惯量的影响时， 只考虑剪切变形的影响时， 因 当梁为矩形截面时( kˊ=0.833 ),取μ=0.33 剪切变形的影响是转动惯量的影响的3.2倍。 (4)轴向力对梁振动的影响 当F=0时，上式即为前面简支梁的固有频率。 加上拉力F后梁的刚度增加而使固有频率提高。 若将拉力F改为压力-F后梁的刚度减小而使固有频率降低。 当 时，梁失稳而破坏，临界压力为 * 太原科技大学应用科学学院 * * 太原科技大学应用科学学院 第5章 连续体的一维振动