振动力学(梁的横向振动).ppt

和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应02对振型函数按下式条件正则化011.标准坐标（正则坐标）梁在激励力作用下的响应设初始条件为将其按标准振型展开2.对初始激励的响应用rAFj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应物理坐标下的响应01根据边界条件求解固有频率和固有振型;02利用标准化条件确定振型中的常数因子;03将初始条件变换到标准坐标;04求标准坐标下的响应;05求物理坐标下的响应。响应求解步骤：解：（1）固有频率与相应的固有振型为【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。由正规化条件确定系数CiABC所以初始条件。按题意求得弹性体的振动弹性体的振动弹性体的振动振动力学------弹性体的振动梁的横向振动仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。1、运动微分方程在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。则微段梁dx沿z方向的运动方程为：利用材料力学中的关系得到梁的弯曲振动方程02即01和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。01梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。02固定端：挠度和转角为0，即03边界条件简支端：挠度和弯矩为0，即自由端：弯矩和剪力为0，即其它边界条件用类似的方法给出。其中01令振动方程中的干扰力为0，得到对于均匀梁，振动方程为022、梁弯曲自由振动的解01代入方程得到02写为假定有分离变量形式的解存在，令则有其中（称为特征方程）方程的通解为由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。以及解：边界条件为挠度和弯矩为0。【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解1201得到02以及03则04则05以及频率方程06由此解得所以固有频率振型为第i阶振型有i－1个节点。节点坐标即【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。01以及02解：边界条件为挠度和转角为0，即代入特征方程的解得到03化简后得到频率方程1求得2求出b后得到固有频率3振型为【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。解：左端的边界条件为挠度和转角为0解：左端的边界条件为挠度和转角为0右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力代入特征方程的解以及求出b后得到固有频率振型为进一步化简后得到频率方程将边界条件代入得到求得或讨论：k＝0时，频率方程变为即为悬臂梁的情况。k趋于无穷大时，频率方程变为即为左端固定，右端简支的情况。【思考题】证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：关于振型函数的正交性和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则0102对第j阶振型进行上面类似的运算得：用Fj左乘上式两端，并积分01则02i＝j时上两式相减得弹性体的振动弹性体的振动弹性体的振动