第07章时变电磁场.ppt

* 7-8 正弦电磁场 一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即 由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。 正弦电磁场又称为时谐电磁场。 式中 仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。? 为角频率。 为正弦函数的初始相位。 正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。虽然场的变化落后于源，但是场与源随时间的变化规律是相同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。 对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位 ，而略去时间相位 ? t 。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为 原来的瞬时矢量和复矢量的关系为 式中 所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为 无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。 有的书刊将正弦电磁场表示为 则瞬时矢量与复矢量的关系为 只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。 实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值），以 表示正弦量的有效值，则 7-9 麦克斯韦方程的复数形式 已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。 考虑到正弦时间函数的时间导数为 或写为 因为上式对于任何时刻均成立，故虚部符号可以消去。那么 因此，麦克斯韦第一方程 可表示为 同理可得 以及 上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式，式中各量均为有效值。 当 t = 0 时， 得 当 ， 时， 得 即 已知 例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为 试求其磁场强度的复数形式。 解 根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为 由于电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 。那么 又知 麦克斯韦方程的复数形式 瞬时形式 (r, t) 复数形式 (r) 7-10 位函数的复数形式 对于正弦电磁场，位函数也可用复矢量表示。 考虑到时间滞后因子 ，对于正弦函数，表现的相位滞后为 。 令 则 那么，位函数方程解的复数形式 罗伦兹条件的复数形式 正弦电磁场与位函数的关系 7-11 复能流密度矢量 已知时变电磁场的电场及磁场能量密度 以最大值表示的复数形式 或者表示为 式中 及 分别为复矢量 及 的共轭值。 瞬时形式 正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为 即 式中 E(r) 及 H(r) 均为有效值。 或者以场强的最大值表示为 或者表示为 上式又可写为 上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。 同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为 平均值为 可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。 已知能流密度矢量 S 的瞬时值为 其周期平均值为 复能流密度矢量 Sc ，令 式中 及 均为有效值。 又可用场强最大值表示为 那么，复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为 可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即 同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。 t t t t 电场强度 磁场强度 当电场与磁场同相时，即 当电场与磁场反相时，即 当电场与磁场的相位差为 的奇数倍，即 ，则实部为零，虚部为最大正值或负值。 若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。 则实部为最大正值，虚部为零。 则实部为最大负值，虚部仍然为零。 能量定理也可用复矢量表示为 即 此式称为复能量定理。由此可见，流进 S 内的复能流密度矢量通量的实部等于 S 内消耗的功率，这就表明，Sc 的实部的确代表单向流动的能量。 由此可见，复能流密度矢量的实部表示能量流动，虚部表示能量交换。 正弦电磁场的惟一性定理 后面各章仅研究正弦电磁场，为了书写简便起见，今后均以E(r)，H (r)或者 E，H 表示正弦电磁场复矢量的有效值，而略去顶标 “ · ” 号。以 E(r, t)，H (r, t)或 E(t)，H (t)