空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案[2].doc

. PAGE .. 空间向量在立体几何中的应用 【考纲说明】 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题； 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题； 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力； 【知识梳理】 空间向量的运算 向量的几何运算 （1）向量的数量积： 已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质：① ；　 　　　 ② ；　 　　 　③ ． （2）向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使． 2、向量的坐标运算 （1）若，，则．　 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若 ， ，则 　　　 ，， 　　 　 ， 　　　 ； ，． 夹角公式： （4）两点间的距离公式：若 ， ，则　 二、空间向量在立体几何中的应用 利用空间向量证明平行问题　对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 利用空间向量证明垂直问题 　对于垂直问题，一般是利用进行证明； 利用空间向量求角度 （1）线线角的求法： 设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为 （线线角的范围[00,900]）（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）二面角的求法： 设n1，n2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则 就是二面角的平面角或其补角的大小（如图） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用空间向量求距离 （1）平面的法向量的求法： 设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　（2）利用法向量求空间距离（a） 点A到平面的距离： ，其中，是平面的法向量。 （b） 直线与平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量。 （c） 两平行平面之间的距离： ，其中， 是平面的法向量。 【经典例题】 【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】D ABCSEF【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ） A B C S E F （A） (B) (C) (D) 【解析】D 【例3】（2012全国卷）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为____________。 【解析】 【例4】（2012重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。 （Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离； （Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—B1的平面角的余弦值。 【解析】 E【例5】F（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点． E F 求证：（1）平面平面； AC（2）直线平面ADE． A C BD B D 【例6】（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF． （Ⅰ）求证：BD⊥平面AED； （Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值． AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT 【解析】二面角F-BD-C的余弦值为． 【例7】（2012江西）在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点。 （1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值。 【解析】