第4讲 非与线性规划 .ppt

第四节 非线性规划模型的解 ? 二次插值法 ? 最速下降法 ? 罚函数法 非线性规划模型的一般形式： 一、无约束模型: 二、有约束模型： 则 称为局部最优解， 或局部解； 则 称为整体最优解， 或最优解或解 一、无约束模型的解 沿某直线方向求目标函数的极小值点，称为一维搜索。 高维问题可通过一系列的一维搜索，求出其近似最优解。 一维搜索 沿某些方向作一维搜索 化为无约束问题 讨论顺序： 1. 一维搜索 （二次插值法） 单峰函数 或 过三点作抛物线： 有 故方程组有唯一解，且 即抛物线的开口向上。 令 得极小值点 再从 中选出满足前面不等式的三点 ， 重复前面的过程，直到满足终止条件： 则 注：迭代时，若出现退化情形 可取 继续迭代。 # 2. 最速下降法 ?f (X) D= －?f (X) 第1步 求新点 设f(X) 可微，给定初始点X1,?0,每次沿使f 下降得最快的负梯度方向 D=－?f (X)搜索，直到满足终止条件为止。 第k次迭代 令 注意： ?k不是步长（因Dk不是单位向量）， 且非负（否则，不是下降得最快的方向）。 得新点 设已得Xk 第2步 验证终止条件 否则，将Xk+1作为新的出发点， 作为新的迭代方向，进行下一次迭代。 有结论： 因为 可见，搜索路线呈之字形。 该法的优点是：不论维数多高，每次迭代只沿一个方向搜索。 “较圆”时，则收敛得较快； “较扁”时，则收敛得较慢。 当目标函数等值线 ? 实际中，前面阶段可用最速下降法， 后面阶段用旋转方向法。 缺点是：收敛速度“前快后慢”。 例 求解 解 因 所以令 则有 由 得新点： 第1步 第2步 因 令 沿 方向搜索，得 迭代： 经5次迭代后得解点 而本题的精确最优解是： 搜索过程见P.32表1.11。 例1.24 例1.23 罚函数法 利用约束函数，引入辅助函数 思路： 二、有约束模型的解 构造非负函数： 作罚函数： 所有约束都满足 至少有一个不满足 作辅助函数： 罚因子(充分大） 原模型化为无约束模型： 对给定的 M1, 求得最优解 X1=X(M1) ? 当 时， ? 当 时， 否则，加大罚因子 ，迭代，… 若满足终止条件 （X1近似可行） 可以证明：对于 因此，该方法也称为外点法。 # 例 用罚函数法求解 解 构造辅助函数 在图中阴影区域内（S外的点），用微分法求F的极小值点。 即 令 ＃ 注：若不便用微分法求解，则可用无约束模型的搜索法对给定的Mi（或任意的M）求X(Mi),用终止条件终止计算。 变化过程见P.35 另外：还有混合罚函数法、内点法等。 ＃