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2022年高考数学总复习：线性规划问题

例3(1)设变量x，y满足约束条件

x－y＋2≥0，

2x＋3y－6≥0，则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(B)

3x＋2y－9≤0，

A．－4B．6

C．10D．17

x－y＋2≥0，

[解析]如图，已知约束条件2x＋3y－6≥0，所表示的平



3x＋2y－9≤0

面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目

2z

标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.

55

x＋y≥1



(2)若x，y满足约束条件x－y≥－1，且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小



2x－y≤2

值，则a的取值范围是(B)

A．[－4,2]B．(－4,2)

C．[－4,1]D．(－4,1)

[解析]本题主要考查线性规划．

a

作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图

2

a

中可看出，当－1－22，即－4a2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B．

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『规律总结』

1．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定

目标函数中参数的取值范围．

2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结

合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点

问题可通过验证解决．

3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线

性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最

值等)．

跟踪训练

G

enzongxunlian

x＋y－7≤0



1．设x、y满足约束条件x－3y＋1≤0，则z＝2x－y的最大值为(B)



3x－y－5≥0

A．10B．8

C．3D．2

[解析]作出可行域如图，作直线ly＝2x，平移直线l，当经过可行域内的点A时，

－z取最小值，z取最大值，

x－3y＋1＝0，x＝5，

由解得

x＋y－7＝0，