山东历年高考题 立体几何.doc

山东高考数学理科 （3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ （19）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱中，已知，，． （Ⅰ）设是的中点，求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 2008年山东高考数学理科 （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9π　　　　　　　（B）10π (C)11π (D)12π (20)(本小题满分12分) 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形. 因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A， 所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD. 所以 AE⊥PD. （Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=， 所以 当AH最短时，∠EHA最大， 即 当AH⊥PD时，∠EHA最大. 此时 tan∠EHA= 因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°， 所以 PA=2. 解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC， 过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=, 又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=, 又 在Rt△ESO中，cos∠ESO= 即所求二面角的余弦值为 解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以 E、F分别为BC、PC的中点，所以 A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（）， 所以 设平面AEF的一法向量为 则 因此 取 因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以 BD⊥平面AFC， 故 为平面AFC的一法向量. 又 =（-）， 所以 cos＜m, ＞= 因为 二面角E-AF-C为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 2009年山东高考数学理科 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为，所以体积为 所以该几何体的体积为. 答案:C （18）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。 证明：直线EE//平面FCC； 求二面角B-FC-C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC， 所以直线EE//平面FCC. （2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, w.w.w.k.s.5.u