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第5章 社会保障精算的利息理论 在社会保障精算中，基金的投资与运营管理、隐性债务的测算等都涉及到资金的时间价值以及资金使用的机会成本和收益问题，这些都要应用利息理论的相关知识，因此利息理论是社会保障精算的基础。本章主要介绍利息的含义、利息的度量与年金的基本知识。 学习目标 理解利息和年金的基本含义 掌握利息的度量工具 掌握年金的计算方法 5.1 利息的含义与度量 5.1.1 利息的含义 利息（Interest）。该投资额经过时间后的累积额，记为。我们把累积额与本金的差值，称为利息总额，记为。则有： （公式5-1-1） 若该本金在第个基本计息单位内产生的利息记为，则有： （公式5-1-2） 利率（Rate of Interest），也称利息率，是指单位本金在单位时间（通常为1年）内所产生的利息与本金的比值，记为。则有： （公式5-1-3） 又，所以利率又可定义为单位本金在单位时间内的产生的利息，即：。 若某一投资额在第个基本计息单位内产生的利率记为，则有： （公式5-1-4） 计息期间是指本金运用的特定时间，记为。 一般而言，对于一定的本金，在利率一定时，计息期间越长，所得利息越多，反之，利息越少；对于一定的本金，在计息期间一定时，利率越高，利息越多。 5.1.2 利息的度量 ⑴ 单利与复利 利息的计算方法有单利和复利两种。单利（Simple Interest），第年的利率为，仅在本金上生息的1年末的累积额为： 第2年末的累积额为： 第年末的累积额为： （公式5-1-5） 若各年利率相等时，则第年末的累积额为： （公式5-1-6） 实际上，当为大于零的任意实数时，可以证明5-1-6式仍然成立，具体证明过程在此省略。 所以，累积函数的形式为： （公式5-1-7） 2) 复利下的累积函数 在复利下，每年在期初本金和利息基础上计息。这时，第1年末的累积额为： 第2年末的累积额为： 第年末的累积额为： （公式5-1-8） 若各年利率相等，第年末的累积额为： （公式5-1-9） 实际上，当为大于零的任意实数时，可以证明5-1-9式仍然成立，具体证明过程在此省略。 所以，累积函数的形式为： (公式5-1-10) 3) 单利与复利的累积函数比较[2]： 单利与复利的累积函数图形如图5-1所示。 a(t) a(t)= (1+i)t a(t)=1+it (0, 1) 0 t 图5-1 单利与复利的累积函数图 由图可以看出，单利与复利的累积函数具有以下关系： ① 起点都经过点和点。 ② 与都为单调增曲线，且为上凹递增。 ③ 或 这就说明，在时间时，复利比单利得到的利息更多；在时，单利比复利得到的利息多。 【例5-1】 某人2005年1月1日个人账户存款1000元，假设年利率为5%，试分别以单利和复利计算（假设以后没有向个人账户中存款）： ① 到2005年5月20日个人账户中的金额为多少？ ② 到2007年1月1日个人账户中的金额为多少？ ③ 多长时间后个人账户中的金额为1200元？ 解： ，元 ① 从2005年1月1日到2005年5月20日为140天，计息天数为139天，故而。 在单利下，个人账户中的金额为： (元) 在复利下，个人账户中的金额为： (元) ② 从2005年1月1日到2007年1月1日为2年，故。