数学建模层次法解析.ppt

特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性： 定理 设 n 阶方阵 A 0，?max 为 A 的模最大的特征根，则有 (1) ?max 必为正特征根，而且它对应着正的特征向量； (2) A 的任何其它特征根 ? 恒有 |?| ?max； (3) ?max 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。 特征根方法中的最大特征根 ?max 和特征向量 w，可用 Matlab 软件直接计算。 例如：计算下面矩阵的最大特征值及相应的特征向量。 相应的 Matlab 程序如下： A = [ 1, 1, 1, 4, 1, 1/2; 1, 1, 2, 4, 1, 1/2; 1, 1/2, 1, 5, 3, 1/2; 1/4, 1/4, 1/5, 1, 1/3, 1/3; 1, 1, 1/3, 3, 1, 1/3; 2, 2, 2, 3, 3, 1]; [x, y] = eig(A); eigenvalue = diag(y); lamda = eigenvalue(1) y_lamda = x(:, 1) y 是特征值，且从大到小排列； x 是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。 输出结果： lamda = 6.3516 y_lamda = -0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604 §1.2.4 判断矩阵的一致性检验 在特殊情况下，判断矩阵 A 的元素具有传递性，即满足等式 aij ? ajk = aik 例如：当 Ai 和 Aj 相比的重要性比例标度为 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例标度为 2 时，一个传递性的判断应有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例标度为 6。当上式对矩阵 A 的所有元素均成立时，判断矩阵A 称为一致性矩阵。 一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。 但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。 因而必须对判断矩阵的一致性进行检验。 判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.： 其中 n 为判断矩阵的阶数； (2) 查找平均随机一致性指标 R.I.： 平均随机一致性指标是多次(500 次以上)重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏 1986 年得出的1~15 阶判断矩阵重复计算 1000 次的平均随机一致性指标如下： 1.59 1.58 1.56 1.54 1.52 1.49 1.46 R.I. 15 14 13 12 11 10 9 阶数 1.41 1.36 1.26 1.12 0.89 0.52 0 0 R.I. 8 7 6 5 4 3 2 1 阶数 (3) 计算一致性比例 C.R.： 当 C.R. 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。 §1.2.5 计算各层元素的组合权重 为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对于总目标的相对权重，需要把§1.2.3 中的计算结果进行适当的组合，并进行总的一致性检验。这一步是由上而下逐层进行的。最终计算结果得出最低层次元素，即决策方案的优先顺序的相对权重和整个递阶层次模型的判断一致性检验。 假定递阶层次结构共有 m 层，第 k 层有 nk 个元素(k = 1, 2, …