四川省成都新津中学2013届高三二诊模拟考试数学理试题.doc

一、选择题（每小题5分，共50分。每小题有唯一正确答案） 1、设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是（ ） A．1 B． 3 C． 4 D． 8 2、已知是实数，是纯虚数，则等于（ ） A． B．1 C． D． 6、在中，°，为边BC的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 7、若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 8、数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9、将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（ ）种. A． 150 B． 114 C． 100 D．72 10.定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第II卷 15、定义在上的函数,如果存在函数为常数,使得对一切实数都成立,则称为函数的一个“承托函数”. 现有如下命题： ①为函数的一个承托函数； ②若为函数的一个承托函数，则实数的取值范围是； ③定义域和值域都是的函数不存在承托函数； ④对给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能有无数个. 其中正确的命题是 ； 三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18、为推进成都市教育均衡发展，石室中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为。 （Ⅰ）求该小组中女生的人数； （Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望。 19、已知数列的前n项和为，，且()，数列满足， ，对任意，都有． （Ⅰ）求数列、的通项公式； （Ⅱ）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围． 21、已知函数，其中是常数，且． （I）求函数的极值； （II）对任意给定的正实数，是否存在正数，使不等式成立？若存在，求出，若不存在，说明理由； （III）设，且，证明：对任意正数都有：． 新津中学高2010级二诊模拟理科试题参考答案： CBBAB AAACB 11、；12、； 13、1033；14、；15、①④ 16、解：（I）由于，所以 . ┄┄┄┄4分 所以或1（舍去）， ┄┄┄┄6分 即角A的度数为 ┄┄┄┄┄7分 （II）由及余弦定理得：，∴ 。 ┄┄┄9分 又由正弦定理得， ┄┄┄┄┄11分 所以的面积。 ┄┄┄┄12分 18、 19、解 （Ⅰ）∵，∴ ()，两式相减得，， ∴，即，∴()， 满足上式，故数列的通项公式()． 4分 在数列中，由，知数列是等比数列，首项、公比均为， ∴数列的通项公式（若列出、、直接得而没有证明扣1分） 6分 （Ⅱ）∴ ① ∴ ② 由①?②，得， ∴， 8分 不等式即为， 即（）恒成立． 也即（）恒成立， 9分 令．则，10分 由，单调递增且大于0，∴单调递增，当时，，且，故，∴实数λ的取值范围是． 12分 21、解：为方便，我们设函数，于是 （1）∵， -----------------1分 由得，， ∴，即，解得，-----------------3分 故当时，；当时，； ∴当时，取极大值，但没有极小值．-----------------4分 （3）对任意正数，存在实数使，， 则，， 原不等式， -----------------12分 由（1）恒成立，故， 取，即得， 即，故所证不等式成立．