振动力学第二章第一节单自由度系统的自由振动.ppt

例、质量500 kg的机器安装在一根弹簧上，弹簧产生1.5 mm的静变形。为了使系统达到临界阻尼状态，求加在系统上并与弹簧并联的粘性阻尼器的阻尼系数是多少？ 解：静变形与固有频率的关系为 由附加的粘性阻尼器的阻尼系数c导出的阻尼比为 当阻尼比为1时，系统处于临界衰减，则此时的阻尼系数为临界阻尼系数，即 　有阻尼系统的衰减振动 例、质量为m = 2450kg的汽车，压在4个车轮弹簧上，可使每个弹簧压缩?st = 150mm，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器后，振幅衰减为A1/A3 = 10；求1）振幅减缩率? 和对数减缩率? ；2）衰减系数n = c/2m和衰减振动的周期Td；3）临界阻尼系数cc。 解：画车身铅垂振动的受力图， x 的原点为车身静平衡位置。车身的运动微分方程为 由已知条件和定义，得： ＝2 临界阻尼系数（z＝1时） 衰减振动频率与周期 对数衰减率 例 题 例：一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。 振动20个循环后，振幅比为： 代入 得： 又 c = 6.9 N s /m 解：振动衰减曲线得包络方程为： 例 题 O mg ? XO YO FK FC 例：一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。 当n＝pn时，c＝cC 解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为： 相图、相点、相轨迹 x -位移 v -速度 M 周期振动相轨迹 Stick-slip 自激振动 中国力学学会学术大会‘2005’ 单自由度系统的自由振动 单自由度系统是指可以用一个独立坐标来 确定系统的位置及其运动规律的振动系统; 单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统; 许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统; 单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。 1. 引 言 根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，可以采用牛顿定律、动能定理、动量矩定理、拉格朗日方程等。 振动微分方程的建立 2. 自由振动系统 (1) 质量弹簧(m-k)系统自由振动 m-k系统非常简单，是许多实际结构振动问题的力学模型。 电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，相当于一根无重弹簧，可简 化成弹簧-质量系统 取质量的静平衡位置为坐标原点, 当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运动微分方程： (2)扭转振动 圆盘在轴的弹性恢复力矩作用下在平衡位置附近作扭转振动。设q为圆盘相对静平衡位置的角度, I0为圆盘对轴的转动惯量, kn为轴的扭转刚度)。则 (3) 复摆 设物体对悬挂点O的转动惯量为JO，利用定轴转动微分方程可得到用转角f?表示的转动微分方程: (4) 纯滚动圆盘 已知m、r、R，利用动能定理或拉格朗日方程,可得到用角度f 表示的运动微分方程: (5) 梁的横向振动 物重质量为m，不计梁的质量。设梁长为l，材料弹性模量E，截面惯性矩I。则利用材料力学可得到： dst 振动微分方程的统一形式 前面各种系统的振动微分方程可以写成统一的数学形式 其中，meq和keq分别称为等效质量和等效刚度，x为广义坐标。为方便起见，一般直接写为m和k，得到无阻尼自由振动微分方程 1. 方程的解 设 设初始条件为： t＝0时，x＝x0， 通解为 自由振动系统 或 两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 初相位角 振 幅 1. 方程的解 自由振动系统 系统振动的周期 频率 圆频率 圆频率pn 是自由振动中每2? 秒内振动的次数。 f、 pn 只与振动系统弹簧常量 k 和物块质量 m 有关，与运动初始条件无关― f 固有频率，pn 固有圆频率。 圆频率、振幅和初相位 是简谐振动的三个重要特征量。 (1). 直接计算法 求出振动系统微分方程后，利用等效刚度和等效质量，即可求出固有频率： 2. 固有频率的计算 (2). 静位移方法 质量在静平衡位置时弹簧的位移为 dst 则固有频率为 复摆系统 扭转振动系统 固有频率 纯滚动圆盘 扭转振动系统 梁的横向振动系统 利用材料力学公式计算出静位移: dst 串联弹簧与并联弹簧的等效刚度 例 已