4-3 分枝定界法.ppt

浙江科技学院经济管理学院管工系 第四章 整数规划 4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例 分支定界法的基本思想 以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得到的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支，每支增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解范围也随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于相应的线性规划最优值。 “定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那些最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规划问题的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划最优解已求出。 作业 P127 4.8 * 4.3 分支定界法 分支定界法 原理： 首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。 步骤： 解整数规划问题（ILP）的松弛问题，结果可能有三种： 松弛问题没有可行解，ILP也没有可行解，停止计算。 松弛问题有最优解，并符合ILP的整数条件，则此最优解即为ILP的最优解，停止计算。 松弛问题有最优解，但不符合ILP的整数条件，记它的目标函数值为 ； 用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函数值，并记作 ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则 分支，如松弛问题有一个最优解xj为非整数值bj，则可以构造两个分支。 xj≤[bj] xj≥[bj]+1 定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。 【例1】用分枝定界法求解 【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）： 用图解法得到最优解X＝（3.57,7.14）,Z0=35.7,如下图所示。 8.33 10 松弛问题LP0的最优解X=(3.57,7.14),Z0=35.7 x1 x2 o A B C 10 10 10 x1 x2 o A B C LP1 LP2 3 4 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5 ① ② 10 10 x1 x2 o A B C LP1 LP3 3 4 LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33 6 ① ② LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 10 10 x1 x2 o A C LP1 3 4 6 ① ② LP4:X=(4,6),Z4=34 LP5:X=(5,5),Z5=35 5 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 LP3 LP5 尽管LP1的解中x1不为整数，但Z5Z因此LP5的最优解就是原整数规划的最优解。 上述分枝过程可用下图表示 LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7 LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8 LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5 x1≤3 x1≥4 LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33 x2≤6 LP4:X=(4,6) Z4=34 LP5:X=(5,5) Z5=35 x1≤4 x1≥5 无可行解 x2≥7 (11/4,9/4),Z=31/4 (3,3/2),Z=15/2 (2,2),Z=6 无解 无解 例2： (11/4,9/4) x1≤2 x1≥3 (2,2) (3,3/2) x2≤1 x2≥2 (19/6,1),Z=22/3 (3,1),Z=7 (19/6,1) x1≤3 x1≥4 分枝定界法的步骤： 1. 求整数规划的松弛问题最优解； 2.??若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步； 3.任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束xi≤[xi]及xi≥[xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界； 4.? 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算,若还存在非整数解并且目标值大于（max）整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。