含绝对值不等式、一元二次不等式、简易逻辑、充要条件.docx
含绝对值不等式、一元二次不等式、简易逻辑、充要条件二.本周教学重、难点：
掌握简单的绝对值不等式的解法；掌握一元二次不等式的解法；学会运用函数方程、分类讨论、等价转化和数形结合思想解决有关不等式的问题。
理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件，必要条件，充要条件的意义。
【典型例题】
（1）；
（1）
；
（2）。
（2）
。
即方法一：原不等式等价于
即
∴或∴方法二：
∴
或
∴
∴或故原不等式的解集为方法一：
∴
或
故原不等式的解集为
①或②由①得∴由②得∴∴原不等式的解集为方法二：
①或
②
由①得
∴
由②得
∴
∴原不等式的解集为
方法二：∵
∴原不等式可视为关于
的一元二次不等式
0
（3）
（4）
解得或（舍去）∴或故原不等式的解集为
解得
或
（舍去）∴
或
故原不等式的解集为
（1）
（2）
（5）（6）解：
（5）
（6）
（1）∵∴原不等式化为∴或（2）∴∴（3）∴∴且∴
（1）∵
∴原不等式化为
∴
或
（2）
∴
∴
（3）
∴
∴
且
∴
（4）原不等式化为：
且
∴ 且
且 或
∴ 或 且
（5）
方法一：令 ∴
① 时，
② 时，
∴
③ 时， ∴
∴由①②③知：
（6）∵ ∴
利用 等号成立的条件得
∴
∴
[例3]解不等式解：（1）时，①时，的两根
[例3]解不等式
解：
（1）
时，
①
时，
的两根
∴
②
时，
∴ 且
③
时，
∴
（2）
时，
∵
∴
∴
（3）
时，
或
[例4]已知二次函数的二次项系数为 ，且不等式的解集为（1）若方程
[例4]已知二次函数
的二次项系数为 ，且不等式
的解集为
（1）若方程
有两个相等的根，求
的解析式；
（2）若
的最大值为正数，求 的取值范围。
解：
（1）∵
的解集为（1，3）
设
因而
，且
①
由方程
，得
②
由于，舍去将代入①得的解析式（2）由又，可得的最大值为
由于
，舍去
将
代入①得
的解析式
（2）由
又
，可得
的最大值为
由
解得
或
[例5]已知关于 的不等式
的解集为M。
∴即解得或
∴
即
解得
或
（1）当时，求集合M；
（1）当
时，求集合M；
（2）若
且
，求实数 的取值范围。
（1）当时，不等式化为所以或故不等式的解集（2）因M，得
（1）当
时，不等式化为
所以
或
故不等式的解集
（2）因
M，得
①
因
，得
或
②
∴方程
有实根
故原命题“若
，则
有实根”为真
由①②解得或[例6]判断命题“若，则
由①②解得
或
[例6]判断命题“若
，则
有实根”的逆否命题的真假。
原命题：若
，则
有实根
逆否命题：若无实根，则∵
逆否命题：若
无实根，则
∵
无实根∴
∴∴“若无实根，则”为真命题∵∴∴
∴
∴“若
无实根，则
”为真命题
∵
∴
∴
∴方程
的判别式
又因原命题与其逆否命题等价，所以“若，则
又因原命题与其逆否命题等价，所以“若
，则
有实根”
命题：， ：有实根
命题
：
， ：
有实根
∴
：
：
方程
有实根}=
∵
∴
∴方程
的判别式
∴方程
有实根，即
∴“若 则 ”为真
∴若，则有实根的逆否命题为真方法四：
∴若
，则
有实根的逆否命题为真
方法四：设
：
， ：
有实根，则
则 ”的逆否命题“若
则 ”为真
无实根∴∵∴“若则”为真，即“若方程无实根，则
无实根
∴
∵
∴“若
则
”为真，即“若方程
无实根，则
”为真[例7]已知，设P：函数在
”为真
[例7]已知
，设P：函数
在R上单调递减；Q：函数
的值域为R，如果“P且Q”为假命题，“P或Q”为真
A.
B.
C.D.解析：由题意知P，函数在R
C.
D.
解析：由题意知P，函数
在R上单调递减，则
。Q：函数
的值域为R，则二次函数必满足且，解之，得。由“P且Q”为假命题，“P
的值域为R，则二次函数
必满足
且
，解之，得
。由“P且Q”为假命题，“P或Q”为
[例8]若是R上的减函数，且，设只能满足Q不成立
[例8]若
是R上的减函数，且
，设
，，若“”是“”的充分A.
，
，若“
”是“
”的充分
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知
∵“”是“”的充分而不必要条件∴∴，故选
∵“
”是“
”的充分而不必要条件
∴
∴
，故选C。
1.若
，则不等式
的解集是（）
A.
B.
C.
D.
2.已知
的解集为R，则 的取值范围是（）
B.C.D.以上答案都不对
B.
C.
5.如果函数在区间（）上为增函数，则 的取
5.如果函数
在区间（
）上为增函数，则 的取
A.
B.
C.
D.
6