《数值分析与算法》第七讲数值积分与数值微分.pptx

数 值 分 析 (7)Numerical Analysis第七章 数值积分与数值微分?Wenjian Yu数值积分的基本概念 Wenjian Yu数值积分?目的与用途经典问题: 算几何形体的面积、体积，力学中 物体的重心位置例: 铝制波纹瓦的长度问题???由一块平整的铝板压制而成. 若每个波纹的高度(自中心线)为1英寸, 周期为 2?英寸, 做4英尺长波纹瓦需多长铝板?????第二类椭圆积分, 无法解析求出 !Wenjian Yu数值积分基本思想???. . .积分系数积分节点??希望用较少的计算量得到较准确的结果Wenjian Yu插值型求积公式?????中矩形公式???梯形公式?Wenjian Yu积分余项与代数精度??反映了计算的截断误差插值余项的积分衡量求积公式准确度的另一个指标注意: 对某些情况，代数精度并不是越高越好Wenjian Yu积分余项与代数精度???可推广?(至少0次代数精度)它至少有n次代数精度即插值型Wenjian Yu积分余项与代数精度????Wenjian Yu求积公式的收敛性与稳定性?(一系列求积公式的性质)????积分问题一般不太敏感????Wenjian Yu求积公式的收敛性与稳定性????????这是控制数值计算误差能达到的最佳情况要尽量寻求稳定的公式(估计截断误差)Wenjian Yu牛顿-柯特斯公式Wenjian YuNewton-Cotes公式??这就是n阶牛顿-柯特斯公式???n=1, 1/2, 1/2 一系列求积公式便于使用Cotes系数表n=2, 1/6, 2/3, 1/6 ?n=4, 7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90 ?Wenjian YuNewton-Cotes公式Cotes系数表n=1, 1/2, 1/2 ?n=2, 1/6, 2/3, 1/6 ?n=4, 7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90 ?思考题n=8,?梯形公式?Simpson公式?中矩形公式可看成是n=0时的特例Cotes公式Wenjian YuNewton-Cotes公式??(最准确)Wenjian YuNewton-Cotes公式?(n阶公式至少有n次代数精度)???????关键看积分:一般不用n=3对应的N-C公式?????Wenjian Yu低阶N-C公式的积分余项???不保号, 无法用积分中值定理2?详细过程看书pp.246?Wenjian Yu稳定性、收敛性?n=8,实际只使用n8的偶数阶N-C公式 (代数精度不是越高越好)Wenjian Yu复合求积公式Wenjian Yu复合求积公式(composite quadrature)??积分误差:n增大,误差减小??仍是“机械求积公式”Wenjian Yu复合求积公式??2阶准确度???Wenjian Yu复合求积公式????与复合梯形公式对比, 看例7.4?Wenjian Yu复合求积公式步长折半的复合求积公式计算积分余项公式包含被积函数的高阶导数, 很难应用. 常常动态地确定步长h常用的动态减小步长策略是: 步长折半, 利用已算出的结果复合梯形公式的情况(逐渐减小, 直到满足精度要求)????递推化的复合梯形公式:?只需再计算新增节点的函数值Wenjian Yu复合求积公式步长折半的复合求积公式计算复合Simpson公式的情况很少使用中矩形公式的原因??????与梯形公式有相同的代数精度/准确度, 计算量更小可类似构造复合中矩形公式, 但在步长折半时, 无法重用以前的结果?Wenjian YuRemberg积分算法Wenjian Yu复合梯形公式的余项展开式??Th7.5????所有小区间的积分求和:???Wenjian Yu复合梯形公式的余项展开式?Th7.5??????所有小区间乘h/2求和:???????????Wenjian YuRichardson Extrapolation???(“0”代表未经外推的原始公式)????更准确的值!?Wenjian YuRichardson Extrapolation???Wenjian YuRomberg算法龙贝格算法列三角形表格, 按行依次计算计算公式(类似高阶差商的计算)?????????????????可证明:?具有2k+1次代数精度??Wenjian YuRomberg积分算法 ??要求被积函数充分光滑!基于等距分布的积分节点, 得到稳定、准确的积分结果Wenjian YuRomberg算法?011/80408020804080.877192610.841471010