§33多项式的对称性.docx
§3.3 多项式的对称性
1定义3.1 设f?x
1
x x
2 n
?是一个几元多项式，?是
?x x
1 2
.... x
n
?上的一个置换，将f?x
x x
2 n
?作置换?后，所得
11的多项式记为?（f?x
1
1
x x
2 n
?）若?（f?x
x ..... x?
1）2 n
1
）
=f?x
=
1
x x
2 n
? 即? 不改变 f?x
x x
2 n
? 即称? 是
1f?x
1
1
x x
2 n
?的一个对称变换。
1定义3.2 f?x
1
x x
2 n
?的全体对称变换对于置换的合成构
1成了一个群称为f?x
1
x x
2 n
?的对称群。
1例如：f?x
1
x x? 2x?x
=2 3 1 2
=
x的对称群为?I?
3f?x x
3
1 2
f?x x
1 2
x? x?x
=3 1 2
=
=x? x?x
=
3 1 2
x的对称群为?I,?12??
33x的对称群为S3。
3
3
1例3.3：（1）试求f?x
1
x x x
2 3 4
? 2x
=1
=
2x
2
2x
3
2x
4
的对称群
?I,?12?,?34?,?12??34??
1定义3.4 若任意几元置换却不改变f?x
1
x x
12 n
1
?，也就是说
f?x
1
x x
2 n
?的对换群为Sn就称f?x
x x
2 n
?为几元的对称
多项式。例：?x?x
?2,x2
xx ?x
2,x2?x
2?x
2?x2
1 2 1 12 2 1 2 3 4
验证x
x ?xx
12 2 3
1
xx
31
是三元多项式
1 2 3 4 5 6解：设S3的元素为? ?I,? ??12?,? ????,? ??23?,? ??123?,? ??132
1 2 3 4 5 6
??f?x,x,x
i 1 2 3
? f?x,x,x?
=1 2 3
=
f?x,x,x
1 2 3
?就是三元的对称多项式。
例：求列三元多项式的对称群，并指出它是否是对称多项式：
1（1）f(x
1
,x,x
2 3
)?(x
1
x)(x
2 1
x)(x
3 2
x)
；3
；
（2）g(x,x,x)?(x?x)2(x?x)2(x ?x)2
（2）
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2解：（1）(x
2
x)(x
1 3
x)(x
1 3
?x)不是?I,(123),(132)?，
是2(x ?x)2(x ?x)2(x ?x)2 S
是
2
2 1 3 1 3 2 3
??I,(123),(132),(23),(13),(12)?。
3分析：用S中6个元素逐一比对变换多项式，可得到f,g的对称群分
3
f别为a
f
??I,(123),(132)? a
，g
，
?S ，以f?x
,x,x
2 3
?不是三元对称多项式，
13g?x,x,x
1
3
1 2 3
?是三元对称多项式。