轴对称球函数与Legendre多项式.ppt

* 广义 Fourier 级数 Hilbert 空间 轴对称球函数与Legendre多项式 Legendre多项式的性质 Legendre多项式的生成函数 连带Legendre函数 连带Legendre方程为： 作变换： 代入方程并整理可得： 可以证明，上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导 m 次得到。 从而该方程的解是 Legendre 方程的解的 m 阶导数。 这样，连带Legendre方程的解为： 上述解被称为连带Legendre函数。 连带Legendre方程和自然边界条件也构成本征值问题， 本征值是 l ( l + 1), l 取非负整数。本征函数就是连带 Legendre函数。 下面是几个连带 Legendre 函数的例子： （P476，附录五） 连带Legendre 函数的微分与积分表示 连带Legendre 函数的模与正交关系 根据关于Sturm-Livouville本征值问题的讨论，不 同 l 的 Legendre 函数正交： （递推公式可参见P307页内容） 连带Legendre函数作为完备函数基 连带 Legendre 函数构成一组完备的函数基，因而 可以把定义在区间[-1，1]上的任意函数展开成为广义 Fourier级数。 一般的球函数 球函数方程： 球函数（l 称作球函数的阶）： 复数形式的球函数： 独立的 l 阶球函数有2l+1个。 球函数的正交关系与模 可以证明： 对于复数形式： 球函数作为完备函数基 利用球函数可以构造一组正交归一的完备函数基， 定义在球面上的任意函数均可以用该基展开： 第十一章 柱函数 （m 取整数） 递推公式 *