第二十六讲定积分的应用.ppt

一、 变力沿直线所作的功 二、 液体对平面薄板的压力 三、 转动惯量 定积分的应用(2) 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 例1. 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板 二、液体侧压力 设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 ? ? 小窄条上各点的压强 例4. 　的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力微元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 三、转动惯量 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 则需用积分解决 . 关于质量连续分布 的物体绕轴的转动惯量问题, x X+dx x y l 例5 一均匀细杆长为l,质量为m,试计算细杆绕过它的 中点且垂直与杆的轴的转动惯量. 解 选择坐标系(如图) 先求转动惯量微元dl, 为此考虑细杆上[x,x+dx]一段, 它的质量为 把这一小段杆设想为位于x处的一个质点, 于是微元为 则沿细杆积分的整个细杆转动惯量为 * * 比重现在不用了 过去: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量