1-2 数列极限与函数极限.ppt

第一章 二 、函数极限 一、数列极限 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限与函数极限 三 、极限的性质 四 、无穷小的性质 一 、数列极限的定义 引例. 当边数无限增大时, 求圆的面积 内接正多边形的面积无限接近于圆面积 (刘徽割圆术) 数列 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 当 n 充分大时, 任意给定的很小正数. 刻划为 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 数列极限的直观定义 当 n 充分大时， 若数列 及常数 a 有下列关系 : (当 n 充分大时) (当 n 充分大时) 例1. 证明 分析: 即说明 当 n 充分大时,有 证明思路: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 判断n充分大时 定义2 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 或 1、函数在一点处的极限 函数极限 几何解释: a 为常数, 则称常数 a 为函数 当 时的极限, 记作 当 x 充分接近 时,有 例3. 设 当 x 充分接近 的直观定义： 分析: 即说明 当 x 充分接近 时,有 左极限： 右极限： 2.单侧极限： 定理: 此定理常用来判断分段函数在分段点处的极限 是否存在． 例4. 设函数 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 . 因为 显然 所以 不存在 . 左右极限存在但不相等, 例5 证 3. 函数在无穷远处的极限 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 定义5 . 设函数 对离原点充分远的 x 都有定义, 则称常数 时的极限, 记作 a 为函数 当 充分大时,有 a 为常数, 函数在无穷远处的极限 两种特殊情况 : 定理 . 当 且 充分大时,有 当 且 充分大时,有 函数极限的性质 定理1 (极限的唯一性) : 若 则 定理2 (极限的局部有界性) : 如果 则 证: 因为 取 则 当 x 充分接近 当 x 充分接近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (极限的局部保号性) : 且 A 0 证: 已知 即 A 0 , 取正数 故有 ( A 0 ) 即 当 x 充分接近 当 x 充分接近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.一个函数是无穷小量,必须指明自变量的 变化趋势; 时,函数 为无穷小 但 时， 函数 不是无穷小 如: 无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.无穷小与函数极限的关系 定理： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分可以看作是无穷小量的分析 3、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 2.据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 判断下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量 当 时 当 时 当 时 当 时 由定义判断无穷小或无穷大只需要判断其极限时零还是 无穷小量的性质 定理1. 有限个无穷小的代数和还是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即假设 则 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 解 先变形再求极限. 定理2 . 无穷小与有界量的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即假设 则 当 时，有 定理3. 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 定理4. 常量与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 ？ * *