函数与数列极限_.ppt

* §1 函数的概念 一、函数的定义域 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。 那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)， x∈A 其中x叫做自变量，自变量x的取值范围A叫做定义域，与x的值相对应的值y叫做函数值，函数值的集合 {f(x)︳x∈A}叫做函数的值域。 第一讲 函数与数列的极限 二、函数定义域的求法 求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的一切自变量的集合 注意事项： 最终结果要写成区间或集合 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+ ∞) (a,+ ∞) (- ∞,b] (- ∞,b) (- ∞,+ ∞) 常见函数对自变量的要求： 第一讲 函数与数列的极限 三、求函数表达式的方法 直接代入法（直接代入法一般都是给出函数的具体解析式，求其他函数的表达式，比较简单） 第一讲 函数与数列的极限 四、反函数的求法 原函数必须是一一映射才有反函数； 单调函数一定有反函数； 原函数与反函数关于直线y=x对称； 原函数的定义域是反函数的值域； 原函数的值域是反函数的定义域。 第一讲 函数与数列的极限 §2 函数的性质 一、 函数的有界性 o y x M -M y=f(x) X 有界 M -M y x o X 无界 则称函数 若 有 成立， f (x)在X上有界.否则称为无界. (2)有界与否是和X有关的. (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的. 注意: 第一讲 函数与数列的极限 二、 函数的奇偶性 偶函数 y x o x -x 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数; 偶函数的图形关于y轴对称. 函数 y=cosx是偶函数. 第一讲 函数与数列的极限 奇函数 y x o x -x 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数. 奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是偶函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数. 第一讲 函数与数列的极限 函数奇偶性常见结论 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 偶*奇=奇 奇函数导数是偶函数 偶函数导数是奇函数 导数是奇函数的函数一定是偶函数 导数是偶函数的函数不一定是奇函数 内层是奇函数，函数奇偶性与外层奇偶性相同 内层是偶函数，函数一定是偶函数 第一讲 函数与数列的极限 三、 函数的单调性 x y o 及 设函数f (x)的定义域为D, 区间 如果对于区间I上任意两点 当 时,恒有 则称函数f (x)在区间I上是单调增加的; 第一讲 函数与数列的极限 x y o 及 设函数f (x)的定义域为D, 区间 则称函数f (x)在区间I上是单调减少的; 如果对于区间I上任意两点 当 时,恒有 第一讲 函数与数列的极限 四、 函数的周期性 函数sinx, cosx的周期是 函数tanx的周期是 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期. 一 有 且 恒成立, 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得对于任 第一讲 函数与数列的极限 §3 初等函数 一、复合函数 定义: 设函数 的定义域为 函数u=g(x)在D上有 定义,且 则由下式确定的函数 称为由函数u=g(x)和函数 构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量. 函数g与函数f 构成的复合函数通常记为 第一讲 函数与数列的极限 二、基本初等函数 (1)幂函数 ( 是常数) 第一讲 函数与数列的极限 (2) 指数函数 第一讲 函数与数列的极限 (3) 对数函数 第一讲 函数与数列的极限 (4) 三角函数 正弦函数 第一讲 函数与数列的极限 余弦函数 第一讲 函数与数列的极限 正切函数 第一讲 函数与数列的极限 (5) 反三角函数 反正弦函数 第一讲 函数与数列的极限 反余弦函数 第一讲 函数与数列的极限 反正切函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 第一讲 函数与数列的极限 三、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 第一讲 函数与数列的极