33--泰勒公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

二、几个初等函数麦克劳林公式第三节一、泰勒公式建立三、泰勒公式应用目标－用多项式近似表示函数.泰勒公式第三章第1页

一、问题提出(matlab)第2页

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问题:不足:1、准确度不高；2、误差不能预计。第5页

分析:2.若有相同切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交第6页

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三、泰勒(Taylor)中值定理第8页

证实:第9页

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拉格朗日形式余项佩亚诺形式余项第12页

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麦克劳林(Maclaurin)公式第31页

泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优异代表人物之一,主要著作有:《正和反增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了当代形式泰勒公式.他是有限差分理论奠基人.第32页

麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他名字命名麦克劳林级数.第33页

符号逻辑先驱和公理化方法推行人撰写《数学百科全书》国际语创建者佩亚诺(1858–1932)意大利数学家,主要著作有:《几何原理逻辑表述》(1898)创建了《数学杂志》（1891）《无穷小分析教程》（1893）第34页

解：代入公式,得例1求n阶麦克劳林公式第35页

惯用函数麦克劳林公式回想:欧拉公式第36页

1.在近似计算中应用误差M为在包含0,x某区间上上界.需解问题类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并预计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x适用范围.四、泰勒公式应用第37页

例2.计算无理数e近似值,使误差不超出解:已知令x=1,得因为欲使由计算可知当n=9时上式成立,所以麦克劳林公式为第38页

说明:注意舍入误差对计算结果影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超出总误差限为这时得到近似值不能确保误差不超出所以计算时中间结果应比精度要求多取一位.第39页

例3.用近似公式计算cosx近似值,使其准确到0.005,试确定x适用范围.解:近似公式误差令解得即当时,由给定近似公式计算结果能准确到0.005.第40页

2.利用泰勒公式求极限例4.求解:因为用洛必达法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,第41页

3.利用泰勒公式证实不等式例5.证实证:+第42页

2025/3/28434.利用泰勒公式建立一维波动方程第43页

均匀柔软细弦，在平衡位置附近产生振幅极小横振动。第44页

确定弦运动方程(2)被研究物理量遵照哪些物理定理？牛顿第二定律.(3)按物理定律写出数学物理方程（即建立泛定方程）(1)要研究物理量是什么？弦沿垂直方向位移一根柔软均匀张紧细弦，求它在平衡位置附近作微小横向振动规律。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦振动规律。第45页

弦特点：匀、细、软、紧一根弹性细线。振动特征：微小、横向振动：振动幅度很小，弦在任意位置处切线倾斜角很小。考虑一根拉紧长为弦，线密度为,以弦平衡位置所在直线为轴，并以弦左端点为坐标原点。求它在平衡位置附近作微小横向振动规律。遵照牛顿第二定律：作用在物体上力=该物体质量×该物体加速度第46页

取弦平衡位置为轴，运动平面为在时刻，弦在点位移为上图中放大图示第47页

由微小振动假设知倾斜角很小，从而：1.弧段在振动过程中长度近似不变由牛顿第二定律有：横向：纵向：第48页

其中：两端除以dx,令,第49页

………一维波动方程令：------非齐次方程自由项------齐次方程忽略重力作用：第50页

注意：物理问题包括原因较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反应弦上任一位置上垂直位移所遵照普遍规律，所以考查点不能取在端点上，但能够取除端点之外任何位置作为考查点．第51页

内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.第52页

2.惯用函数麦克劳林公式(P142~P144)3.泰勒公式应用(1)近似计算(3)其它应用求极限,证实不等式等