复变函数第五章课件.ppt

* 5.1 解析函数的孤立奇点 5.2 留数的一般理论 5.3 留数对定积分计算的应用 目录 第五章 留数 5.1 解析函数的孤立奇点 5.1.1 孤立奇点z0 的定义及分类 的 z=0为孤立奇点； 的 z=1为孤立奇点 的 z=0及z=1/n? (n = ?1 , ?2 ,…)都是它的奇点 这说明奇点未 必是孤立的。 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： 特点：没有负幂次项 特点：只有有限多个负幂次项 特点：有无穷多个负幂次项 定义：设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f (z)的洛朗级数 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点; 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 定理 ： (1) 若z0为f (z)的可去奇点 (2) 若z0为f (z)的m (m ? 1) 级极点 (3) 若z0为f (z)的本性奇点 设z0 为函数f(z) 的m 阶极点，则f(z) 在z0 的某去心领域 D:0|z-z0|R 内解析，并且在D内f(z) 有罗朗展开式 在这里c-m≠0于是在D:0|z-z0|R内 在这里 是一个在D:0|z-z0|R 内解析的函数，并且 函数f(z)在D:0|z-z0|R内解析，那么z0是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是： 在这里m是一个正整数，,c-m ≠0 5.1.2 零点与极点的关系 定义：设f(z) 在z0 的领域内解析. 若 f(z0)=0，则称 z0 为解析函数f(z) 的零点. 设f(z) 在该领域内的泰勒展开式为： 那么 (1) 当cn=0 (n=1,2,3,….)时，f(z)=0. (2) 当c1,c2,…,cn,…,不全为零时，总有cm≠0,而cn=0 (nm),我们说z0 是f(z)的 m 阶零点 定理： 不恒等于零的解析函数f (z)以 z=z0 为m 阶零点的必要与充分条件为 例2：考察函数 f(z)=z-sinz 在原点的性质 例3：求函数 f(z)=1-sinz 的全部零点，并指出它们的级 证明： “?”　若z0为f (z)的m 级极点 5.1.3 孤立奇点∞的定义及分类 区域|z|R(R≥0)为无穷点的领域，R|z|+∞为 无穷远点的去心领域 如果函数f(z) 在无穷远点的某一去心领域D:R|z|+∞内解析，则称无穷远点为f(z) 的孤立奇点。 作变换 把扩充z平面上?的去心邻域 R|z|+?映射成扩充w平面上原点的去心邻域： f (z)在无穷远点 z=? 的奇点类型 等价于j (w)在w=0的奇点类型。 又 .这样, 我们可把在去心邻域R|z|+?对f (z)的研究变为在 内对j (w)的研究.显然j (w)在 内解析, 所以w=0是孤立奇点. 定理：设函数f(z) 在区域R|z|+∞ 内解析，那么z=+ ∞ 是f(z) 的可去奇、极点、本性起点的必要与充分条件相应的是： 5.2 留数的一般理论 5.2.1 留数的定义及计算 设函数f(z)在点z0解析。作圆C: |z-z0|=r，使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分 设函数f(z) 在区域0|z-z0|R 内解析。选取r，使0rR，并且作圆C:|z-z0|=r，那么如果f(z)在z0 也解析，则上面的积分也等于零；如果z0 是f(z) 的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零； 因此将f(z) 在此邻域0| z-z0|R内展开为洛朗级数f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2πic-1外, 其余各项积分都等于零, 定义: 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义,　 Res [f (z), z0]= c–1 　　　(1) 一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利。 首先考虑一阶极点的情形。设z0 是f(z) 的一个一阶极点。因此在去掉中