2025高考数学二轮专题复习专题一函数与导数微重点1函数的公切线问题 .docx

专题一微重点1函数的公切线问题

(分值：52分)

一、单项选择题(每小题5分，共25分)

1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为()

A.e3 B.e

C.e D.e2

2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a-b的值为()

A.e-2 B.e+2

C.e D.e2

3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()

A.3 B.2

C.1 D.0

4.对于三次函数f(x)，若曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1，2)处的切线重合，则f(2)等于()

A.-34 B.-14

C.-4 D.14

5.已知函数f(x)=ex-1，g(x)=14ex2，若直线l是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线，则l的方程为(

A.ex-y=0 B.ex-y-e=0

C.x-y=0 D.x-y-1=0

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

6.已知曲线C1：f(x)=ex+a和曲线C2：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值可以为()

A.-e B.94

C.2 D.e

7.已知l1，l2是函数y=aex与y=lnx-lna的图象的两条公切线，记l1的倾斜角为α，l2的倾斜角为β，且l1，l2的夹角为θ0≤θ≤π

A.sinα=cosβ

B.tanα+tanβ≥2

C.若tanθ=34，则a3

D.l1与l2的交点可能在第三象限

三、填空题(每小题5分，共15分)

8.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)=.?

9.已知函数g(x)=x的图象与函数f(x)=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.?

10.(2024·茂名模拟)若曲线y=lnx与曲线y=x2+2ax有公切线，则实数a的取值范围是.?

答案精析

1.D2.A3.A4.B5.B6.ABC

7.ABC8.x2+2x(答案不唯一)

9.(e2，e)

解析函数f(x)=alnx的定义域为(0，+∞)，

可得f(x)=ax，由g(x)=x

可得g(x)=12

设曲线f(x)=alnx与曲线g(x)=x的公共点为(x0，y0)，

由于在公共点处有相同的切线，

所以12x0

所以x0=4a2(a0)，

由f(x0)=g(x0)，

可得alnx0=x0

联立可得x

解得x0=e2，所以y0=e，所以公共点坐标为(e2，e).

10.-

解析两个函数求导分别为y=1x，y=2x+2a

设y=lnx，y=x2+2ax图象上的切点分别为(x1，lnx1)，(x2，x22+2ax2)，则切线方程分别为y=xx1+ln

y=(2x2+2a)x-x2

则1x1=2x2+2a，lnx1-1=-

所以2a=ex22-1

设f(x)=ex2-1

f(x)=2(xex2-1

f(1)=0，

令g(x)=f(x)=2(xex2-1

所以g(x)=2(2x2+1)ex2

所以g(x)即f(x)在R上单调递增，且f(1)=0，

则f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，

所以2a≥f(1)=-1，故a≥-12