2025高考数学二轮专题复习专题一函数与导数微重点1函数的公切线问题 .docx
微重点1函数的公切线问题
[考情分析]函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
考点一求两函数的公切线
例1(2024·扬州模拟)若直线l既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则直线l的方程为.?
[规律方法]求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)·(x-x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
跟踪演练1(2023·南平模拟)已知曲线y=alnx和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为.?
考点二与公切线有关的求值问题
例2(2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为()
A.0或2 B.-2或0
C.-1或0 D.0或1
[规律方法]利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.
跟踪演练2(2024·河南省部分重点高中联考)若两个函数f(x)=lnx+a和g(x)=bex(a，b∈R)存在过点2，12的公切线，设切点坐标分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，则(x1+2x2)·[f(x1)+2g(x2)]=
考点三判断公切线条数
例3(2024·广州模拟)曲线C1：y=x2与曲线C2：y=lnx公切线的条数是()
A.0 B.1
C.2 D.3
[规律方法]运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.
跟踪演练3已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+14均相切的直线l有(
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
考点四求参数的取值范围
例4(2024·曲靖模拟)已知a0，若点P为曲线C1：y=x22+ax-m与曲线C2：y=2a2lnx的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是(
A.-∞，e
C.-∞，e12 D.(
[规律方法]利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
跟踪演练4若曲线y=kx-1(k0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是.?
答案精析
例1y=x-1或y=1e
跟踪演练12ex-y-e=0
例2A
跟踪演练29
例3C[设公切线与y=x2的切点为(x1，x12
与y=lnx的切点为(x2，lnx2)，
y=x2的导数为y=2x，y=lnx的导数为y=1x
则在切点(x1，x12
y-x12=2x1(x-x1
即y=2x1x-x1
则在切点(x2，lnx2)处的切线方程为
y-lnx2=1x2(x-x2
即y=1x2x+lnx2
∴2
整理得到x12-lnx1=1+ln
令f(x)=x2-lnx，x∈(0，+∞)，
则f(x)=2x-1x=2
令f(x)0，得x22
令f(x)0，得0x22
∴f(x)在区间0，
在区间2
上单调递增，
f(x)min=f2
=12+12ln21+ln
即函数f(x)与y=1+ln2的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1+ln2有两个交点，则方程x12-lnx1=1+ln2有两个不相等的正根，即曲线C1：y=x2与曲线C2：y=lnx
跟踪演练3C
例4C[设点P的横坐标为n(n0)，则由y=x22+ax
可得y=x+a，
又y=2a2lnx可得y=2a
且两条曲线在点P处的切线重合，所以切线的斜率k=n+a=2a2n(a
解得n=a或n=-2a(舍去)，
即点P的横坐标为a(a0)，
由点P为曲线C1：y=x22+ax-m与曲线C2：y=2a2ln
所以a22+a2-m=2a2ln
即m=-2a2lna+32a2
令f(a)=-2a2lna+32a2(a0)
则f(a)=-4alna+a=a(1-4lna)，
令f(a)=0可得a=e1
由a0知，当0ae14时，f(a)
当ae14时，f(a)
所以f(a)在0，e1
所以f(a)max=fe14=
当a→+∞时，f(a)→-∞，则实数m的取值范围为-∞，
跟踪演练4-1e