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第四章 分治法—习题课 作业 2，3，5，6，7，10，11，23 P99-2 P99-2 递推表达式 设n=2k则: T(n)=T(2k)=2T(2k-1)+f(2k) =2(2 T(2k-2)+f(2k-1)) +f(2k) =22T(2k-2)+21 f(2k-1)+ f(2k) = ………… =2kT(1)+2k-1f(2)+2k-2f(22)+…+20f(2k) =2kg(1)+ 2k-1f(2)+2k-2f(22)+…+20f(2k) P99-2 g(n)=O(1)和f(n)=O(n) 当g(n)=O(1)和f(n)=O(n)时 不妨设g(n)=a，f(n)=bn，则： T(n)=T(2k) = 2ka+ 2k-1*2b+2k-2*22b+…+20*2kb =2ka+kb2k =an+bnlog2n=O(nlog2n) P99-2 g(n)=O(1)和f(n)=O(1) 当g(n)=O(1)和f(n)=O(1)时， 不妨设g(n)=c，f(n)=d，则： T(n)=T(2k) =c2k+2k-1d+2k-2d+…+20d =c2k+d(2k-1) =(c+d) n-d=O(n) P99-3 根据2.2节开始所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。 Procedure BINSRCH(A, low, high, x, j) integer mid if low≤high then mid← ?(low+high)/2 ? if x=A(mid) then j←mid; endif if xA(mid) then BINSRCH(A, mid+1, high, x, j); endif if xA(mid) then BINSRCH(A, low, mid-1, x, j); endif else j←0; endif end BINSRCH P99-5 作一个“三分”检索算法，它首先检查n/3处的元素是否等于某个x的值，然后检查2n/3处的元素。这样，或者找到x，或者把集合缩小到原来的1/3。分析此算法在各种情况下的计算复杂度。 Procedure ThriSearch(A, x, n, j) integer low, high, mid1, mid2 low←1; high←n while low≤high do mid1← |(high+2low)/3」 mid2←「(2high+low)/3| case :x=A(mid1): j←mid1; return :x=A(mid2): j←mid2; return :xA(mid1): high←mid1-1 :xA(mid2): low ←mid2+1 :else: low←mid1+1; high←mid2-1 end case repeat j←0 end ThriSearch 实例运行 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 3 7 8 9 1 2 4 6 5 叶节点分布在k, k-1, k-2层。 时间复杂度 f(n)= 1 n=1 2 n=2 f(|n/3」)+2 n2 设n=3k , 求得f(n)=f(3k)=1+2log3n 时间复杂度 成功: O(1), O(log3(n)), O(log3(n)) 最好， 平均， 最坏 失败: O(log3(n)), O(log3(n)), O(log3(n)) 最好， 平均， 最坏 P99-6 对于含有n个内部结点的二元树，证明 E=I+2n 其中，E，I分别为外部和内部路径长度。 证明：数学归纳法 当n=1时，易知E=2，I=0，所以E=I+2n成立； 假设n≤k(k0)时，E=I+2n成立； 则当n=k+1时，不妨认定某个内结点x，而且它为叶结点（根据二元扩展树的定义，一定存在这样的结点x，且设该结点的层数为h），将结点x及其左右子结点（外结点）从原树中摘除（x替换为外结点）。 X 此时新树内部结点为k个，则满足： Ek=Ik+2k （1） 考察原树的外部路径长度和内部路径长度： Ek+1= Ek-h+2(h+1) （2） Ik+1=Ik+h （3） 综合（1）（2）（3）式： Ek+1 = Ik+2k+h+2 = Ik+1- h+2k+h