《信号与系统分析》.doc
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第四章 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
4.1概述
为了利用计算机计算傅里叶变换,信号和频谱应是离散的,长度也应是有限的,本章介绍的离散傅里叶变换(DFT),是由傅里叶变换发展而来的一种离散信号的处理方法,它在理论上解决了利用计算机进行傅里叶变换的问题。
本章介绍的快速傅里叶变换(FFT),是1965年由两位工程师提出的,它是DFT的快速算法,在工程领域得到广泛的应用。
4.2 离散傅里叶变换
第三章中指出,任意一个满足狄里赫利条件的周期信号,可分解为如下三角级数形式:
其复指数形式为
为讨论方便,上式改写为
(1)
其中
(2)
从上述两式中,可导出周期序列的离散傅里叶级数如下
设为周期信号的抽样序列,即,为抽样周期或抽样间隔,且有,于是式(1)为
(3)
式(3)两边同乘,再取和式,则有
(4)
其中
(4)式为
(5)
也是一个周期序列,成为离散傅里叶级数,与傅里叶级数中的复因子相差一个因子。
将式(5)两边同乘,再取和式,注意到
则有
(6)
(5)、(6)两式构成离散傅里叶级数(DFS)变换对。DFS表明离散周期序列所对应的离散傅里叶级数也是离散周期的,周期也为。实际工作中,对任意有限长序列分析时,可将该序列视为一个周期序列的主值区间序列,可利用DFS计算该周期序列的一个周期也就是计算出有限长序列,此时,对该任意有限长序列所进行的DFS变换称为DFT变换。
为计算方便,记,于是(5)、(6)两式为
(7)
(8)
以上两种形式也可以用矩阵的形式表现出来。
例1 利用DFT的矩阵表达式求4点序列的离散傅里叶变换。
解: 由得,于是
例2 已知,求的离散傅里叶逆变换。
解:由得,于是
4.3 离散傅里叶变换的性质
1. 线性特性
设有限长序列与的线性组合为
,为常数,则
(9)
注意:上述两个有限长序列长度一致时,式(9)成立。若长度不一致,则通过将较短序列补充若干个0,使之长度与另一序列长度一致,方可使用式(9)。
2.圆周位移特性
(1)圆周时移特性
圆周时移指长度为的序列,以为周期进行周期延拓生成,位移位后,所得序列。取其主值区间所得序列,见图4-1。
图4-1 序列圆周时移
与的关系为
为整数
且
取矩型窗序列
于是
为方便,记
设 (周期,为整数,且),则。
或表示被相除得到整数商后的余数。
定理1:若,则
(10)
(2)圆周频移特性
定理2:若,则
(11)
3.圆周卷积特性
(1)时域圆周卷积特性
两个序列的时域圆周卷积定义如下
(12)
要求与序列长度均为
例3 已知两个有限长序列()
试用图解方法求圆周卷积。
解:将与的自变量用替代
(b)
(d)
(f)
于是由
得
(g)
图4-2 有限长序列的圆周卷积
线卷积与圆周卷积
线卷积的移位是平移,圆周卷积的移位是周期位移
线卷积不要求两序列长度一致。如果
与的长度分别为与,则
*的长度为。
圆周卷积要求两序列长度一致。如果
与的长度分别为,则
的长度为
(3)如果要求与的线卷积和圆周卷积结果相同,则应给与补零,使得补零后两序列长度
圆周卷积定理
(1)时域圆周卷积定理
设
,
且
于是
(13)
(2)频域圆周卷积定理
设
,
则
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