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第九讲：无穷级数 常数项级数 概念与性质： 数列中的各项用加号连接的形式：称为无穷项数项级数，第项称为一般项（通项）。 数列称为级数的前项之和（部分和），若，则称级数的和为，级数收敛；若不存在，则称级数发散。 若级数收敛，称为级数的余项，。 例1：判定下列级数的敛散性： ①： 解：， ， 故发散； ②： 解：，， 故收敛； ③调和级数：； 解：由， ，故级数发散。 ④几何级数： ⑤级数： 性质： ⅰ、设、为常数，若、收敛，则也收敛，且 ； 推论：常数，与同敛散； 比如：证明级数发散：因为与同敛散，又发散，故级数发散； 注意：，； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：与同敛散； ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知，求： 解：， 故； ⅳ、若级数收敛，则（若，则发散） 比如：由，则发散。 ⅴ、柯西收敛准则：级数收敛，，当时，对任何，均有。 正项级数的审敛法 若，，则称级数为正项级数。 由得单调增加，可知正项级数的收敛准则：正项级数收敛部分和有界。 比较审敛法：若、为正项级数，且，其中为正常数，则 当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。 比较审敛法的极限形式：若、为正项级数，且，则 当时，与同敛散； 当时，若收敛，也收敛；若发散，也发散； 当时，若收敛，也收敛；若发散，也发散。 （2）比值审敛法（达朗贝尔判别法）：设为正项级数，则当时，收敛；当时， 发散。 比值审敛法的极限形式：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定。 （3）根值审敛法（柯西判别法）：设为正项级数，则当时，收敛；当时， 发散。 根值审敛法的极限形式：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定。 （4）积分审敛法：若（）为非负的不增函数，则与同敛散。 （5）拉阿伯审敛法：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时， 发散；当时，无法确定。 3、交错级数及审敛法： （1）设，级数或称为交错（项）级数。 （2）莱布尼兹审敛法：若交错级数或满足：， ，则该级数收敛。 4、绝对收敛与条件收敛： 若收敛，则称绝对收敛，此时也收敛；若发散，但收敛，则称条件收敛。 判断下列级数的收敛性 例1:; 解:注意到,当充分大时,,即,故 ,收敛,因此:收敛. 例2:; 解:,因此原级数收敛. 例3: 解:,当时,级数收敛;当时,级数发散; 当时,当时,该级数收敛,当时,该级数发散. 例4:,, 解:因为,又发散,收敛,因此 收敛, ,发散. 例5:; 解: ,当即时,级数收敛;当时,级数发散;当时,,故级数发散. 例6:; 解:由于,及, 故级数收敛. 例7: 解:由于及当时,, 当时,,因此当时,级数发散;当时,级数收敛. 例8:; 解:由于,即,级数发散,故原级数也发散. 例9:; 解:由于,取则有,及收敛,故原级数 收敛. 例10:; 解:,当充分大时,则有,即, 也即,又收敛,故原级数收敛. 例11:; 解:,故级数收敛. 例12:; 解:考虑,, 又,, , 即,发散,因此原级数收敛. 例13:设证明级数当时收敛,当时发散. 证明:根据极限定义,当时,恒有.即 . 当时,取适当小的,使,即得,即, 又,收敛,故收敛. 当时,取适当小的,使,即得,即, 又,发散,故发散. 例14:已知级数收敛,问级数是否收敛? 解:由于,及收敛,故收敛,即绝对收敛,因此收敛. 例15:讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛? 解:原式,由知发散,考虑,由于,取得, 又,,故在时单调减少,因此有,即 ,满足莱布尼兹定理条件,因此本级数条件收敛. 例16: 讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛? 解:由于,发散,故发散, 又,,级数收敛,发散,故原级数发散. 例17: 讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛? 解:由于,且当时,.故原级数为交错级数. 发散(,又发散),故原级数不会绝对收敛,又,, 取故单调减少,即,也即,满足狄里克来条件,因此该级数条件收敛. 例18:已知数列收敛,级数收敛,证明级数收敛. 解一:设级数的部分和为,级数部分和为 即存在,故级数收敛级数收敛. 解二:取,则级数收敛,又, ,故级数收敛,因此原级数收敛. 例:已知收敛,证明级数也收敛. 证明: 已知收敛,故存在,使,. 记,由于, 故,因此,即正项级数的部分和数列有上界,从而原级数收敛. 例20:设正项数列单调减少,且级数发散,试问级数是否收敛?并说明理由. 解: 正项数列单调减少且有下界,故存在,不妨设为,则.若, 则由莱布尼兹定理知级数收敛,矛盾,故.因此由,故级数收敛. 例21:设且,问级数是否收敛? 解: =, 由知,于是,级数收敛. 又,故