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二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二) 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第七章 一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 令 令 逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根 : 例1. 求微分方程 提示: 故通解为 满足条件 解满足 处连续且可微的解. 设特解 : 代入方程定 A, B, 得 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处的衔接条件可知, 解满足 故所求解为 其通解: 定解问题的解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解. 例3. 设函数 内具有连续二阶导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知 (03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 ( 个性 ) 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规 例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 为 k), 开方如何定 + – ? 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量 m 体积 B 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 有特 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 1. 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 再积分得通解 复习: 一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. 解: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研) 所以 (2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足 其特征方程: 特征根: ∴齐次方程通解为 设非齐次方程特解为 代入原方程得 故非齐次方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入初始条件可得 故所求级数的和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * （P 429 例5 ） * （P 429 例5 ） * （P 429 例5 ） * （P 429 例5 ）