运筹学教程第3章课件.ppt

第三章 线性规划问题的对偶与灵敏度分析 线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析 1.线性规划对偶问题 对偶原理 对偶问题定义—— 线性规划问题写出其对偶问题，要掌握在对称形式和非对称情况下由原问题写出对偶问题的方法。 对偶定理—— 只需了解原问题与对偶问题解的关系，证明从略。 1.对偶问题： 若第二章例2.1问题的设备都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备 A、B、C 每工时各如何收费才最有竞争力？  设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收取费用。 线性规划原问题 例2.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示。求获最大利润的方案。 1.线性规划对偶问题 Max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 原问题 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0 Min f = 65y1+ 40y2 + 75y3 s.t. 3y1+2y2 ≥1500 （不少于甲产品的利润） 2y1+y2+3y3 ≥2500 对偶问题 （不少于乙产品的利润） y1, y2 , y3 ≥ 0 1.线性规划对偶问题 2、对偶定义 对称形式： 互为对偶 (LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y s.t. Ax ≤ b s.t. AT y ≥ c x ≥ 0 y ≥ 0 “Max -- ≤ ” “Min-- ≥” 1.线性规划对偶问题 一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系。 (1)若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 1.线性规划对偶问题 (2)从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个约束，m个变量。 (3)从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置对换。 (4)两个规划模型中的变量皆非负。 1.线性规划对偶问题 非对称形式的对偶规划 一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面 的对应关系直接给出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （2）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制； 1.线性规划对偶问题 （3）若原规划的某个变量的值没有非负限 制，则在对偶问题中与此变量对应的那个 约束为等式。 下面对关系（2）作一说明。对于关系（3） 可以给出类似的解释。 设原规划中第一个约束为等式： a11x1 + … + a1nxn = b1 那么，这个等式与下面两个不等式等价 1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题 此时已转化为对称形式，直接写出对偶规划 1.线性规划对偶问题 例3.1 写出下面线性规划的对偶规划模型 1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题 3.对偶定理 (原问题与对偶问题解的关系） 考虑（LP）和（DP） 1.线性规划对偶问题 定理3-2 (最优性准则定理)