终稿线性方程组直接法迭代法.doc

毕 业 论 文 2012届 线性方程组的直接法和迭代法 学生姓名 刘玲 学 号 院 系 数理信息学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 祝汉灿 完成日期 2012年5月25日  线性方程组的直接法和迭代法 THE DIRECT AND ITERATION METHOD OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT In science, technology, engineering and economic fields, we will meet the problem of solving linear equations. Generally speaking, there are direct methods and iterative methods for solving linear equations. For coefficient matrix and low order dense matrix of linear equations, we can use direct method for the elimination. For large-scale linear equations, especially large sparse linear equations, a direct method is much complicated. In this situation, the iterative method is the more effective method to solve the linear equations. The most common used methods are the Jacobi iteration and Gauss-Seidel iteration. In this paper, we mainly study the convergence of the two methods. (13) KEY WORDS: solving linear equations; low order dense matrix; large-scale linear; direct method; iterative method 目 录 摘 要 I ABSTRACT II 目 录 III 引 言 1 1. 线性方程组的直接法 2 1.1 Cramer法则 2 1.2 Gauss消元法 3 1.2.1 用Gauss消元法为线性方程组求解 3 2. 线性方程组迭代法 4 2.1 Jacobi迭代法 4 2.2 Gauss-Seide迭代 6 2.3 SOR迭代 8 2.4 迭代法收敛 9 2.5 迭代法收敛的应用 12 3. 结论： 14 参考文献 15 附录 16 致 谢 20  引 言 在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题，这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来，换句话说，求解线性方程组的过程就是就是解决实际遇到的自然及社会科学问题的过程，在线性方程组的求解的重要性可见一斑。 求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。解线性方程组主要有直接法和迭代法。直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法．但实际计算中由于误差的存在和影响，这种方法也只能得到线性方程组的近似解，而且该方法也只是是求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解。 在求解线性方程组Cramer法则，Gauss消元法。Cramer法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。Gauss是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法