2025版高考数学一轮复习第8章第7讲立体几何中的向量方法二训练含解析.doc

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第八章第7讲

[A级基础达标]

1．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D

A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)

C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)

【答案】D

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1

A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)

C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)

【答案】B

3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与

A．eq\f(1,10) B．eq\f(2,5)

C．eq\f(\r(30),10) D．eq\f(\r(2),2)

【答案】C

4．(2024年绍兴学业考试)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD⊥平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD

A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)

C．eq\r(2) D．eq\r(3)

【答案】C

5．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD

A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)

C．eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(2\r(3),3)

【答案】D

【解析】如图建立坐标系．则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2，2,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))令z＝1，得n＝(－1,1,1)．所以D1到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),3).

6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1

【答案】60°

【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝2，所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以EF和BC1所成的角为60°.

7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1

【答案】eq\f(2,3)

【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,2)．

设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DC1,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋2z＝0，))令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．

设CD与平面BDC1所成的角为θ，则

sinθ＝|cos〈n，eq\o(DC,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(DC,\s\up6(→)),|n||\o(DC,\s\up6(→))|)))＝eq\f(2,3).

8．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成角的度数为________．

【答案】30°

【解析】由题意得eq\o(AD