第七章 格与布尔代数.ppt

第七章 格与布尔代数 布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的， 格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。 A,≤是偏序集:≤是A上自反,反对称和传递关系(偏序). 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来. 例如A={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是A上整除关系 其Hasse图如图所示，B?A B≠Φ 2. B的最小元与最大元 y是B的最小元??y∈B∧?x(x∈B?y≤x) y是B的最大元??y∈B∧?x(x∈B?x≤y) {2,3,6}的最小元:无 最大元: 6 B如果有最小元(最大元), 则是唯一的。 3. B的下界与上界 y是B的下界??y∈A∧?x(x∈B?y≤x) y是B的上界??y∈A∧?x(x∈B?x≤y) {2,3,6}的下界:1 上界: 6,12,24,36 4. B的最大下界(下确界)与最小上界(上确界) y是B的最大下界(下确界)：B的所有下界x,有x≤y。 y是B的最小上界(上确界)：B的所有上界x,有y≤x。 {2,3,6}下确界:1 上确界:6 (B若有下(上)确界,则唯一) 7-1 格 (Lattice) 一 . 基本概念 1. 格的定义 A,≤是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大 下界和最小上界，则称A,≤是格。 右图三个偏序 集,哪个是格？ 第一个与第三个是同构的。因为 d和e无下界，也无 最小上界；b,c虽有下界，但无最大下界。 第二个图：2,3无最大下界，4,5无最小上界。 这三个偏序集，都不是格， 2. 平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。 因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y, 要么y≤x。 如果x≤y，则{x,y}的最大下界为x，最小上界为y。 如果y≤x，则{x,y}的最大下界为y，最小上界为 x 。 即这{x,y}的最大下界为较小元素，最小上界为较大元素. 3. 由格诱导的代数系统 设A, ≤是格,在A上定义二元运算∨和∧为:?a,b∈A a∨b=LUB {a,b}, {a,b}的最小上界.Least Upper Bound a∧b=GLB {a,b}, {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound 称A,∨,∧是由格A,≤诱导的代数系统. (∨-并,∧-交) 例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e 二. 格的对偶原理 设A,≤是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。 所以A, ≥也是格，A,≥的Hasse图是将A,≤的 Hasse图颠倒180o即可。 格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将 P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’ , 称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。 例如：P: a∧b≤a P’: a∨b≥a {a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a 三. 格的性质 A,∨,∧是由格A,≤诱导的代数系统。?a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得c≤b∨d, 这说明b∨d是{a,c}的上界，而a∨c是{a,c}的最小上界， 所以a∨c≤b∨d。 类似可证 a∧c≤b∧d。 推论：在一个格中，任何 a,b,c∈A，如果b≤c，则 a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。 3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明：由性质1 得 a≤a∨a (再证a∨a≤a) 由≤自反得a≤a, 这说明a是{a}的上界，而a∨a是{a}的 最小上界，所以 a∨a≤ a。最后由≤反对称得 a∨a=a 。 由对偶原理得 a∧a=a 5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。 证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ∵ a≤ a∨(b∨c) b≤b∨c ≤ a∨(b∨c)