中山大学数学分析高等代数考研试题集锦（2015-2015年）.pdf
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2013 年中山大学数学分析考研真题
一、（24 分）计算下列极限：
1 2 2 2 n 2
(i) 设xn n 1+( ) 1+( ) 1+( ) , 求lim x .
n n n n→∞ n
1 1
(ii) 2 n n+1 其中x 0.
lim n (x −x ),
n→∞
d +1
m d m
∑i −
(iii) lim i d dd +1 , 其中d 0.
m→∞ m
二、（20 分）
{ }
(i) 叙述数列 收敛的柯西收敛准则并证明之.
a
n
(ii) 用柯西收敛准则证明：数列an 1 + 1 ++ 1 .趋于无穷大.
2 ln 2 3ln 3 n ln n
三、（20 分）证明(i) f (x) sin x 在[0,∞) 上一致连续.(ii) g (x) sin x 2 在
[0,∞) 上不一致连续.
2
x
四、（16 分）设x − x − + n n 证明 存在.
1 1, n+1 1 ( 1,2, ), lim xn
2 n→∞
1+a
五、（10 分）设a 0, n 1,2,, 证明lim ( n+1 −1) ≥1.
n
n
n→∞ a
n
∞
六、（10 分）设0 x 1, 求S (x) ∑x k (1−x)2k 的极值.
k 1
( ) ( )
+ − −
七、（10 分）计算 x y dx x y dy 其中 是一条从 到 不
∫ 2 2 , C (−1,0) (1,0)
C x +y
经过原点的光滑曲线：y f (x),−1≤x ≤1.
八、 （12 分）计算 yzdxdy +zxdydz +xydzdx , 其中 是由x 2 +y 2
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