[华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总.doc

2000年华南师范大学数学分析 填空题（3*10=30分） 设； 设 方程在区间[0,1]中至多有_________个根； 7.设 在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________; 写出函数在x=0处的幂级数展开式： 曲线的弧长s=___________________. (12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值. (12分)设函数z=z(x,y),由方程所确定，其中f是可微函数，试证： . （12分）求极限：. （12分）已知a,b为实数，且1ab,证明不等式：. (12分)计算曲面积分：其中S是球面的外侧. (10分)设,在[a,b]上连续，n=1,2,…,在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：在[a,b]上一致收敛于f(x). 2003年华南师范大学数学分析 (12分)求极限 (12分)设 (12分)证明在[a,b]上一致收敛(其中，0ab+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=在(0,+∞)上连续. (12分)求第二型曲线积分，其中，，取逆时针方向。 (12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果和都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。 (15分)设关于一致收敛，而且，对于每个固定的，f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于一致地收敛于0. 2004年华南师范大学数学分析 (12分)设证明数列严格单调增加且收敛。 (12分)求函数的导函数，并讨论导函数的连续性。 (12分)求幂级数的收敛半径和收敛域。 (12分)求函数的Fourier级数，并由此求数列级数： 的和。 (12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，f(a)≠f(b)，证明：存在，使得。 (15分)是以为心，r为半径的球，是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明： 2005年华南师范大学数学分析 计算题（4*8=32分） 求. 求. 求. 求.其中,取逆时针方向。 证明题（3*9=27分） 证明：对； 设，证明：； 设f(x)在(0,1)上连续，，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值. 讨论题（2*8=16分） 讨论级数的敛散性。 设，讨论的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。 2006年华南师范大学数学分析 (15分)假设存在，试证明：. (15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。 (15分)假设在[a,b]上连续，级数在(a,b)上一致收敛，试证明： （i）,收敛； (ii)在[a,b]上一致收敛。 (15分)假设,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。 (15分)计算曲面积分，其中s为锥面所示部分，方向为外侧。 2007年华南师范大学数学分析 (15分)证明数列收敛，并求其极限. (15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). .(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明； .(10分)只假定存在，证明. (15分)求积分：. (15分)判别函数列的一致收敛性. (15分)设，求和. (15分)利用和分部积分法求，其中a0. (20分)设L是平面区域的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微，用格林公式证明：.其中n是L上的单位外法向量，是u沿n方向的方向导数. (20分)设f(x)的导函数在[0,1]上连续，且0，证明瑕积分.当1p2时收敛，p2时发散. (20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何，有证明： 2008年华南师范大学数学分析 (15分)设 (15分)设为有界集，证明必存在数列 (15分)设 证明若，则f在x处不连续；(2)计算. (15分)设n为自然数，求不定积分的递推公式，并计算. (20分) 设，证明 证明函数项级数在x=0的邻域U(0)内不一致收敛. (15分