第七章向量代数与空间解析几何.doc

第 PAGE 28 页 共 NUMPAGES 28 页 第七章 向量代数与空间解析几何 基本内容 （一）向量的有关概念 定义：即有大小又有方向的量称为向量。记作.向量的坐标表示为，其中为 在三个坐标轴上的投影。 模：向量的大小称为向量的模，记作，若=，则. 向量的方向余弦：向量的方向余弦定义为 , 其中、 、 为向量的方向余角，并规定，显然有 1 2、向量的运算 向量的加法和减法 ，则 。 向量的加法和减法还满足三角形法则，平形四边形法则。 运算规律 结合律 分配律 （3）向量的数量积 定义 两个向量的数量积为（）. 由数量积的定义可推得 坐标表示式 设 则 运算规律 交换律 结合律 分配律 向量的向量积 定义 两个向量的向量积是一个向量，记为，其模为其方向为、都垂直，并且符合右手法则。 由定义易知：向量； ； 的几何意义是以向量、为邻边的平行四边形的面积。 坐标表示，设,则 运算规律 反交换律 结合律 分配律 向量的混合积 定义 向量 的混合积定义为 由定义易知：向量 向量混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积。 坐标表示 设 ，则 运算规律 顺次轮换性 点叉交换性 （二）典型例题 1、试问二非零向量满足什么条件时，以下各式才能成立？ 解：(1) 与互相垂直； （2）与同向； （3）与反向； （4）且与反向； （5）与的夹角为锐角； （6）与的夹角为钝角； （7）； （8）与同向； （9）共面。 2.求平行于向量的单位向量。 解：与向量平行的单位向量有两个。一个是与同向。另一具与反向。 故平行于向量的单位向量为 3.设为单位向量，且满足 解：由 得 所以有 4.试用向量证明不等式 其中， 为实数，并指出等号成立的条件。 解：令 由于 ，所以 即 显然，当且仅当时，不等式中的等号成立。此时， ，即 5．已知：向量与三个向量 的数量积分别为3，5，4。试求向量及其单位向量。 解：依题意有 得 故， ， 6．设向量若， 求向量使三向量所构成的平行六面体的体积最大。 解：要使平行六面体的体积最大，则向量必垂直于不妨设 又因为 所以 所以向量 7.设一个向量与三个坐标平面的夹角分别是。证明 解：设 分别是该向量与三个坐标轴的夹角，则有 由 即 故 8．设 向量垂直于向量，且向量 垂直于向量 。求 的夹角。 解：由题设得 即 由 （1）-（2）可得 代入（1）得 所以 故 9．已知 向量 向量 的角平分线上，且 ，求向量的坐标。 解法一：设 由 的角平分线上可得 ，于是将 代入上式得 又 在 、所确定的平面上，，再由 所以有 再由 即 所以 由 解得 所以有 解法二 因的角平分线上，则为邻边的对角线向量共线。 设 由得 二、空间解析几何 （一）平面 平面方程的几种形式 一般式 ，其中法向量为 （2）点法式 其中为平面上已知点，为法向量 （3）截距式 其中为三个坐标轴上的截距。 两平面间的位置关系 设两平面方程为 则 两平面平行 两平面垂直； 两平面的夹角 满足： 点到平面的距离 平面外一点到平面 的距离为 （二）空间直线 空间直线方程的几种形式 一般式 其中 的系数不成比例 标准式（或对称式） 其中 为直线上的已知点，为直线的方向向量。 （3）参数式 其中 为直线上的已知点，为直线的方向向量。 两直线间的位置关系 设两直线方程为 和 两直线平行； 两直线垂直； 两直线的夹角 满足 直线与平面间的位置关系 设 直线和平面方程分别为 和 （1）直线与平面平行 ； 特别，直线与平面重合 ； （2）直线与平面垂直 ； 直线与平面的夹角 满足 ； 点到直线的距离 点 到直线 的距离为 ，其中点 为直线上的任意一点，为直线的方向向量。 （三）曲面 一般方程 。 柱面 以