随机过程通过线性系统.pptx

随机过程通过线性系统 确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。例如： 确知信号x(t),线性时不变系统h(t)：时域： 非因果系统： 因果系统： 频域： 若 物理可实现，且x(t)有界，则有： 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且对于其通过线性时不变系统的表述为：问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以及与系统函数间的关系如何？随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。其原因是： 1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为随机过程（信号）是随时间或依时序组成的每个时间点上的随机变量的集合，所以随机信号每个时间点上对应的函数值都是一个随机变量。即便通过一个具体的实验所得到的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本函数 ，它也无法表征整个随机过程的行为 。 2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个端口的输出，各时间点上随机变量的取值往往具有前后的波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。 针对随机信号所具有的随机性和波及性，可用统计方法来描述其随时间变化的函数关系： 1. 对于每一时间点上的函数值是随机变量的特征，可用一维统计特性来描述： 函数值的概率密度、均值、方差等； 2. 对于各时间点随机变量的波及性，用多维统计特性来描述： 函数值的多维概率密度、相关函数等。随机过程通过线性时不变系统的表示 随机过程的一个样本, 若 是有界的，则对于线性时不变系统 ： 时域表示： 非因果系统： 因果系统：即，系统输出 也只能是随机过程的一个样本且有界。其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本 都是有界的，才有频域表示： ∵ 随机过程是无限时宽，无限能量，非周期的, ∴的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在，故不能用频谱表述。 但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率谱来描述。平稳随机过程通过线性时不变系统：平稳条件：= 常数；由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积，故其存在Z变换，或付氏变换。物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。 由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在频谱，但可用功率谱描述。 问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结论？一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析1．系统输出Y(t)的均值: ，其中 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时间起点 t 无关。由 E[Y(t)] ≡常数和 RY(τ) 可知： 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。且有：3. 系统输入与输出之间的互相关函数:同理可证，当X(t)为白噪声，即 时，则即有 该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得 ，则可用功率谱密度为 的白噪声激励线性系统来估计该线性系统的冲击响应。4．物理可实现(因果)系统的响应 物理可实现系统的条件： 因果性 将该条件代入上述关系式，可得 注意：卷积关系不再成立。平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：X(t)：平稳随机过程 h(t)：线性时不变系统的冲击响应注意：物理可实现系统的条件。二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析1．系统输出Y(t)的功率谱密度 令 ，则令： ，则 ，其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， 系统的输出功率=系统的输入功率× |H(ω)| 2。 系统输出Y(t)的自相关函数系统的输出的均方值或平均功率2. 系统输入与输出之间的互谱密度 由付氏变换性质可得: 当X(t)为白噪声，即GX(ω)=N0/2时，则，或 上式说明：如果能设法获得GXY(ω) 或GYX(ω) ，则可估计 线性系统的传输函数 H(ω) 。平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：GX(ω) ：输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度;H(ω) ： 线性时不变系统的传输函数;|H(ω)|2 ：线性时不变系统的功率传输函数;GY(ω) ：输出平稳随机过程Y(t)的功率谱密度；GXY(ω) ：输入X(t)与输出平稳随机过程Y(t)的互谱密度。三、多个随机过程之和通过线性系统设 X1(t) 和 X2(t)单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输出Y(t)的特性为：1．输出Y(t)的均值2．输出Y(t)的自相关函数和功