随机信号-3_随机信号通过线性系统课件.ppt

例3.13 设低频信号 的频谱为： 证明：当时 ，有 证明： ，其频谱 设 * 希尔伯特变换和解析过程 所以S t 的希尔伯特变换的频谱为： ） 同理可证： 因为 * 希尔伯特变换和解析过程 * 例3.14 利用希尔伯特变换可实现单边带调幅。设平稳随机过程 的希尔伯特变换。求下图右输出的功率谱。 的功率谱密度 ，如下左图所示， 是 的功率谱密度 单边带调制器方框图 希尔伯特变换和解析过程 * 解： 希尔伯特变换和解析过程 * 希尔伯特变换和解析过程 * 例3.15 若平稳随机过程X t 经过冲激响应为 和 的并联系统， 已知X t 的自相关函数为 ，若 ，求 和 , , 并求对应的功率谱。 , 希尔伯特变换和解析过程 * 则 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程的表示方法 * 窄带随机过程 定义： 且 为高频窄带随机过程， 若 的功率谱密度满足 简称窄带随机过程。 * 窄带随机过程的功率谱密度图 窄带随机过程的样本波形 * 窄带随机过程 窄带随机过程的表达式 相位 中心频率 包络 * 窄带随机过程 莱斯表达式： 对莱斯表达式取希尔伯特变换，可得： 于是： 输出相关函数波形 理想带通系统输出的相关函数波形 * 白噪声通过理想带通线性系统 （2）带通系统输出的平均功率为 带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此 带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致 积分时只 用相关系数的包络积分 （3）输出的相关系数为 * 白噪声通过理想带通线性系统 白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为： 设输入白噪声的功率谱 系统输出功率谱为 高斯带通系统的频率响应 * （1）输出相关函数 高斯系统的输出相关函数 * 白噪声通过理想高斯线性系统 （2）输出随机过程的平均功率为 （3）相关系数 （4）等效噪声带宽 （5）相关时间 * 白噪声通过理想高斯线性系统 线性系统输出端随机信号的概率分布 难 输入随机信号为高斯过程 系统输入为非高斯过程，其带宽远大于线性系统的通频带的情况 线性系统输出的概率分布 * 如果输入 是高斯序列，在k时刻， 是一个高斯变量，那么上式是k维高斯变量的线性组合 k趋于无穷大 。 由高斯变量的性质可知，k维高斯变量的线性组合仍为高斯分布，因此输出 也是高斯分布。这个结论很容易推广到连续系统。 1 线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程 * 线性系统输出的概率分布 2 若输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统带宽， 则系统输出近似高斯过程。 基本思想： 条件： （1）随机变量必须相互独立； （2）独立随机变量求和的数目要足够多。 是随机变量之和。 根据中心极限定理，大量统计独立的随机变量之和的分布接近于高斯分布。 因此， 接近于高斯分布。 * 线性系统输出的概率分布 1、随机变量相互独立 2、随机变量足够多 功率谱带宽与 成反比，则对于宽带输入有： 若采样间隔 T满足： 则输入随机过程的采样 、 、 ?? 之间是互相独立。 系统冲激相应的时域持续时间与带宽成反比。那么对于 窄带系统， 的持续时间足够长，即有足够数量的 于是由中心极限定理，输出 接近高斯分布。 * 非零 线性系统输出的概率分布 例 3.9 对理想低通线性系统： 通过该系统的输出自相关函数。如果输出信号采样，以什么样的频率采 样时，采样样本是相互独立的。 ，求理想高斯白噪声 解：输入白噪声为 ，其功率谱密度为 ，则低通系 统的输出功率谱密度为： 当 时，即 时，在两个采样点 上， 和 仍是高斯信号，而高斯信号不相关等价于独立，故对输出信号以 是互不相关的。由于高斯信号通过线性系统后的信号 进行采样时，采样样本相互独立。 * 线性系统输出的概率分布 例 3.10 解：随机变量s是高斯过程 平稳随机过程 是正态的，具有零均值及相关函数 求随机变量 的概率密度函数。 的线性变换，因此s也服从高斯分布。 其概率密度函数为 * 线性系统输出的概率分布 1、系统对输入信号具有频率选择性。输出功率谱由输入功率 谱和系统功率传递函数共同决定。 2、3dB带宽为半功率带宽，取正频率部分。 3、等效噪声带宽的等效原则： 功率相等，增益取实际系统最大增益。 4、线性系统输出的概率分布： （1）线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。 （2）若输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统 带宽，则系统输出近似高斯过程。 * 随机信号通过线性系统总结 * 色噪声产生和白化滤波器 当输入单位功率谱密度的白噪声时，有： 以上表明：白噪声激励下的线性系统，其输出为色噪声。 色噪声产生 * 色噪声的产生 的极点全在s平面的左半面、零点全在左半面或虚轴上