函数-导数不等式-推理证明.doc

函数，导数，不等式，推理与证明 1，已知函数. (Ⅰ) 若直线与的反函数的图像相切, 求实数的值; (Ⅱ) 设, 讨论曲线与曲线 公共点的个数. (Ⅲ) 设 , 比较与的大小, 并说明理由. 2，已知函数 (Ⅰ)设，求的单调区间 (Ⅱ) 设，且对于任意，。试比较与的大小 3，已知函数 ,， 当时， 求证：； 4已知函数. (Ⅰ) 求函数的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有 5，已知函数 （Ι）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明. 6,函数 (1)n=0,若h(x)在上没有零点，求m取值范围 (2)设求证:当。 7,已知函数，若f(x)有两个不同零点， (1)求m取值范围 (2)证明 8函数 (1)求f(x)在上的最大值 (2)若f(x)有两个不同零点， 求证:。 9,函数 (1)若f(x)在R上是增函数。求a取值范围 (2)如果恰好有两个不同的极值点，证明: 10,函数 (1)讨论函数单调性，(2)若在处的切线斜率为2，且函数在有两个不同的极值点证明 【解析】(Ⅰ) 的反函数. 设直线与相切与点 。所以 (Ⅱ) 当时， 曲线与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。 由，令 则在上单调递减,这时,在上单调递增,这时是极小值即最小值. 所以对曲线与曲线 公共点的个数，讨论如下： 当时,有个公共点；当,有个公共点； 当有个公共点； (Ⅲ) 设 令,则 的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而 所以在。因为当时,且 所以当时, 解：（Ⅰ）由知又，故当时，若时，由得，恒成立，故函数的单调递减区间是；若，令可得，即函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，令 由于，故有 显然有，故在区间上，导数小于0，函数是减函数；在区间上，导数大于0，函数是增函数 综上，当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是 当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是（II）由题意，函数在处取到最小值， 由（1）知，是函数的唯一极小值点故 整理得令，则 由当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减因为 故,即,即 解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为，求导数可得令 当变化时，的变化情况如下表： ? ? ? - 0 + ? 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （Ⅱ）证明：当时，，设，令， 由（Ⅰ）可知，在区间单调递增，, ，故存在唯一的，使得成立； （Ⅲ）证明：因为，由（Ⅱ）知，，且， 从而，其中， 要使成立，只需，当时，若，则由的单调性，有矛盾， 所以，即，从而成立， 另一方面，令令 当时，，当时，，故函数在处取到极大值，也是最大值，故有.综上可证：当时，有成立． 解：（Ⅰ）,是的极值点， .所以函数，其定义域为．. 设，则，所以在上为增函数，又时，，即；当时，．所以在上为减函数；在上为增函数； （Ⅱ）证明：当时，，故只需证明当时．当时，函数在上为增函数，且,．故在上有唯一实数根，且．当时，，当时，， 当时，取得最小值．由 故综上，当时，